Номер 35, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. При каких значениях $b$ имеет отрицательный корень уравнение:

1) $3x - 4 = 2b$;

2) $(b + 1)x = 7$?

1)

Рассмотрим уравнение $3x - 4 = 2b$. Чтобы найти значения параметра $b$, при которых корень уравнения будет отрицательным, сначала выразим $x$ через $b$.

Перенесем $-4$ в правую часть уравнения:

$3x = 2b + 4$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{2b + 4}{3}$

По условию задачи, корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{2b + 4}{3} < 0$

Так как знаменатель 3 — положительное число, знак неравенства сохранится, если мы умножим обе части на 3:

$2b + 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$2b < -4$

Разделим обе части на 2:

$b < -2$

Таким образом, уравнение имеет отрицательный корень при всех значениях $b$ меньших -2.

Ответ: $b \in (-\infty; -2)$.

2)

Рассмотрим уравнение $(b + 1)x = 7$.

Чтобы это уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю. Если $b + 1 = 0$, то есть $b = -1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 7$, что неверно ни при каком $x$. Следовательно, при $b = -1$ уравнение не имеет корней.

Если $b + 1 \neq 0$ (т.е. $b \neq -1$), мы можем выразить $x$:

$x = \frac{7}{b+1}$

По условию, корень $x$ должен быть отрицательным: $x < 0$. Составим неравенство:

$\frac{7}{b+1} < 0$

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель 7 — положительное число. Следовательно, знаменатель должен быть отрицательным:

$b + 1 < 0$

Решим это простое неравенство:

$b < -1$

Это условие не противоречит ранее найденному ограничению $b \neq -1$.

Значит, уравнение имеет отрицательный корень при всех значениях $b$ меньших -1.

Ответ: $b \in (-\infty; -1)$.