Номер 39, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Среди чисел $-5; 3,5; 8$ укажите решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x > -7, \\ x < 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 2 > x + 4, \\ 7x - 4 > x + 3. \end{cases}$

Для того чтобы определить, какие из чисел $-5$; $3,5$; $8$ являются решениями систем неравенств, нужно сначала найти общее решение для каждой системы, а затем проверить, принадлежат ли указанные числа этому решению.

1) Рассмотрим первую систему неравенств:
$ \begin{cases} x > -7, \\ x < 12. \end{cases} $
Решением этой системы являются все значения $x$, которые одновременно больше $-7$ и меньше $12$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-7 < x < 12$. Решением является интервал $(-7; 12)$.
Теперь проверим, принадлежат ли предложенные числа этому интервалу:
- Для числа $-5$: неравенство $-7 < -5 < 12$ является верным. Значит, $-5$ — решение системы.
- Для числа $3,5$: неравенство $-7 < 3,5 < 12$ является верным. Значит, $3,5$ — решение системы.
- Для числа $8$: неравенство $-7 < 8 < 12$ является верным. Значит, $8$ — решение системы.
Все предложенные числа являются решениями данной системы.
Ответ: $-5$; $3,5$; $8$.

2) Рассмотрим вторую систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x - 2 > x + 4, \\ 7x - 4 > x + 3. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно.
Решение первого неравенства:
$3x - x > 4 + 2$
$2x > 6$
$x > 3$
Решение второго неравенства:
$7x - x > 3 + 4$
$6x > 7$
$x > \frac{7}{6}$ или $x > 1\frac{1}{6}$
Решением системы является пересечение полученных решений, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 3$ и $x > \frac{7}{6}$. Поскольку любое число, которое больше $3$, автоматически больше и $\frac{7}{6}$, общим решением системы будет $x > 3$. Решением является интервал $(3; +\infty)$.
Теперь проверим, принадлежат ли предложенные числа этому интервалу:
- Для числа $-5$: неравенство $-5 > 3$ является неверным. Значит, $-5$ не является решением системы.
- Для числа $3,5$: неравенство $3,5 > 3$ является верным. Значит, $3,5$ — решение системы.
- Для числа $8$: неравенство $8 > 3$ является верным. Значит, $8$ — решение системы.
Решениями данной системы являются числа $3,5$ и $8$.
Ответ: $3,5$; $8$.