Номер 34, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Постройте график функции:

1) $y = |x + 2|$;

2) $y = |x - 4| - 2$;

3) $y = |x + 1| + 2x$.

1) $y = |x + 2|$

Для построения графика функции $y = |x + 2|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа (или выражения) равен самому числу, если оно неотрицательно, и равен противоположному числу, если оно отрицательно.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если подмодульное выражение $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x + 2| = x + 2$. Функция принимает вид $y = x + 2$.

2. Если подмодульное выражение $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Функция принимает вид $y = -x - 2$.

Таким образом, наша функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} x + 2, & \text{при } x \ge -2 \\ -x - 2, & \text{при } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика построим каждую из этих прямых на соответствующем промежутке.

• Строим график $y = x + 2$ для $x \ge -2$. Это луч, начинающийся в точке, где $x = -2$.
  Найдем координаты начальной точки: при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
  Найдем еще одну точку для построения луча, например, при $x = 0$: $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
  Проводим луч через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.

• Строим график $y = -x - 2$ для $x < -2$. Это луч, который также подходит к точке, где $x = -2$.
  Координаты конечной точки луча: при $x = -2$, $y = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
  Найдем еще одну точку, например, при $x = -4$: $y = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(-4, 2)$.
  Проводим луч через точки $(-4, 2)$ и $(-2, 0)$.

Также можно построить этот график путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x + 2|$ представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей, с вершиной в точке $(-2, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $y = |x - 4| - 2$

Этот график можно построить с помощью геометрических преобразований графика функции $y = |x|$.

1. Строим базовый график $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

2. Строим график $y = |x - 4|$. Это график $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина перемещается в точку $(4, 0)$.

3. Строим график $y = |x - 4| - 2$. Это график $y = |x - 4|$, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина перемещается из $(4, 0)$ в точку $(4, -2)$.

Альтернативный способ — раскрытие модуля.

$y = \begin{cases} (x - 4) - 2, & \text{при } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) - 2, & \text{при } x - 4 < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} x - 6, & \text{при } x \ge 4 \\ -x + 2, & \text{при } x < 4 \end{cases}$

Теперь построим два луча:

• Луч $y = x - 6$ при $x \ge 4$.
  Начальная точка: при $x = 4$, $y = 4 - 6 = -2$. Точка $(4, -2)$.
  Другая точка: при $x = 6$, $y = 6 - 6 = 0$. Точка $(6, 0)$.

• Луч $y = -x + 2$ при $x < 4$.
  Конечная точка: при $x = 4$, $y = -4 + 2 = -2$. Точка $(4, -2)$.
  Другая точка: при $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Соединив лучи, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = |x - 4| - 2$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(4, -2)$ и ветвями, направленными вверх. График пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

3) $y = |x + 1| + 2x$

Для построения этого графика необходимо раскрыть модуль, так как здесь присутствует слагаемое $2x$ вне модуля, и простым сдвигом обойтись нельзя.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x + 1$.

1. Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x + 1| = x + 1$.
Функция принимает вид: $y = (x + 1) + 2x = 3x + 1$.

2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.
Функция принимает вид: $y = -(x + 1) + 2x = -x - 1 + 2x = x - 1$.

Итак, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 3x + 1, & \text{при } x \ge -1 \\ x - 1, & \text{при } x < -1 \end{cases}$

График будет состоять из двух лучей, "ломающихся" в точке, где $x = -1$.

• Строим луч $y = 3x + 1$ для $x \ge -1$.
  Найдем начальную точку: при $x = -1$, $y = 3(-1) + 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
  Возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$: $y = 3(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
  Проводим луч, выходящий из $(-1, -2)$ и проходящий через $(0, 1)$.

• Строим луч $y = x - 1$ для $x < -1$.
  Найдем конечную точку луча: при $x \to -1$, $y \to -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
  Возьмем еще одну точку, например, при $x = -3$: $y = -3 - 1 = -4$. Точка $(-3, -4)$.
  Проводим луч, проходящий через $(-3, -4)$ и заканчивающийся в $(-1, -2)$.

Оба луча соединяются в точке $(-1, -2)$.

Ответ: График функции $y = |x + 1| + 2x$ представляет собой объединение двух лучей, исходящих из общей точки $(-1, -2)$. При $x \ge -1$ график совпадает с прямой $y = 3x + 1$, а при $x < -1$ — с прямой $y = x - 1$.