Номер 37, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. При каких значениях $a$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 3x + 5a = 0$;

2) $(a + 3)x^2 - (2a - 1)x + a = 0$;

3) $(a - 5)x^2 - 2(a - 6)x + a - 4 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

1) $x^2 - 3x + 5a = 0$

Данное уравнение является квадратным при любом значении a, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a) = 9 - 20a$.
Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$:
$9 - 20a > 0$
$9 > 20a$
$a < \frac{9}{20}$

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{9}{20})$.

2) $(a+3)x^2 - (2a-1)x + a = 0$

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$a + 3 \neq 0 \implies a \neq -3$.
Если $a = -3$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - (2(-3)-1)x - 3 = 0$, то есть $7x - 3 = 0$, которое имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(2a-1))^2 - 4(a+3)a = (2a-1)^2 - 4a(a+3) = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 + 12a) = -16a + 1$.
Условие $D > 0$:
$-16a + 1 > 0$
$1 > 16a$
$a < \frac{1}{16}$.
Объединяя оба условия ($a < \frac{1}{16}$ и $a \neq -3$), получаем искомый диапазон значений для a.

Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{1}{16})$.

3) $(a-5)x^2 - 2(a-6)x + a - 4 = 0$

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$a - 5 \neq 0 \implies a \neq 5$.
Если $a = 5$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - 2(5-6)x + 5 - 4 = 0$, то есть $2x + 1 = 0$, которое имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Так как коэффициент при x является четным числом, для упрощения вычислений воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (-(a-6))^2 - (a-5)(a-4) = (a-6)^2 - (a-5)(a-4)$.
$D_1 = (a^2 - 12a + 36) - (a^2 - 9a + 20) = a^2 - 12a + 36 - a^2 + 9a - 20 = -3a + 16$.
Условие наличия двух различных действительных корней — $D_1 > 0$ (что эквивалентно $D > 0$):
$-3a + 16 > 0$
$16 > 3a$
$a < \frac{16}{3}$.
Объединяя оба условия ($a < \frac{16}{3}$ и $a \neq 5$), и учитывая, что $5 = \frac{15}{3} < \frac{16}{3}$, необходимо исключить точку $a=5$ из полученного интервала.

Ответ: $a \in (-\infty; 5) \cup (5; \frac{16}{3})$.