Номер 38, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(a+2)x > 0;$

2) $(a+2)x < 3;$

3) $(a+2)x \ge a+2;$

4) $(a+2)^2x \le 0;$

5) $a+2x \ge 3-ax;$

6) $3(a-x) \le 9-ax;$

7) $(a-3)x > a^2-9;$

8) $(a+2)x \le a^2-4;$

1)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x > 0$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
В этом случае делим обе части неравенства на положительное число $a+2$, знак неравенства сохраняется:$x > \frac{0}{a+2} \implies x > 0$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
В этом случае делим обе части неравенства на отрицательное число $a+2$, знак неравенства меняется на противоположный:$x < \frac{0}{a+2} \implies x < 0$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, что равносильно $0 > 0$. Это неверное утверждение, следовательно, при $a = -2$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (0, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, 0)$; если $a = -2$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

2)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x < 3$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на $a+2$: $x < \frac{3}{a+2}$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на $a+2$ и меняем знак неравенства: $x > \frac{3}{a+2}$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 3$, что равносильно $0 < 3$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, \frac{3}{a+2})$; если $a < -2$, то $x \in (\frac{3}{a+2}, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

3)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x \geq a+2$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на положительное число $a+2$: $x \geq \frac{a+2}{a+2} \implies x \geq 1$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на отрицательное число $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \leq \frac{a+2}{a+2} \implies x \leq 1$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 0$, что равносильно $0 \geq 0$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, 1]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

4)

Рассмотрим неравенство $(a+2)^2 x \leq 0$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a+2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a+2)^2 \geq 0$.

Случай 1: $(a+2)^2 > 0$, то есть $a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$.
Делим обе части на положительное число $(a+2)^2$: $x \leq \frac{0}{(a+2)^2} \implies x \leq 0$.

Случай 2: $(a+2)^2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 0$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq -2$, то $x \in (-\infty, 0]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

5)

Преобразуем неравенство $a + 2x \geq 3 - ax$, сгруппировав члены с $x$ в левой части:
$2x + ax \geq 3 - a$
$(a+2)x \geq 3 - a$

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на $a+2$: $x \geq \frac{3-a}{a+2}$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \leq \frac{3-a}{a+2}$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 3 - (-2)$, что равносильно $0 \geq 5$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [\frac{3-a}{a+2}, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, \frac{3-a}{a+2}]$; если $a = -2$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

6)

Преобразуем неравенство $3(a-x) \leq 9 - ax$:

$3a - 3x \leq 9 - ax$
$ax - 3x \leq 9 - 3a$
$(a-3)x \leq 3(3-a)$
$(a-3)x \leq -3(a-3)$

Решение зависит от знака коэффициента $a-3$.

Случай 1: $a-3 > 0$, то есть $a > 3$.
Делим обе части на положительное число $a-3$: $x \leq \frac{-3(a-3)}{a-3} \implies x \leq -3$.

Случай 2: $a-3 < 0$, то есть $a < 3$.
Делим обе части на отрицательное число $a-3$ и меняем знак неравенства: $x \geq \frac{-3(a-3)}{a-3} \implies x \geq -3$.

Случай 3: $a-3 = 0$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq -3(0)$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом $x$.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty, -3]$; если $a < 3$, то $x \in [-3, +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

7)

Рассмотрим неравенство $(a-3)x > a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$.

Неравенство принимает вид: $(a-3)x > (a-3)(a+3)$.

Решение зависит от знака коэффициента $a-3$.

Случай 1: $a-3 > 0$, то есть $a > 3$.
Делим обе части на положительное число $a-3$: $x > a+3$.

Случай 2: $a-3 < 0$, то есть $a < 3$.
Делим обе части на отрицательное число $a-3$ и меняем знак неравенства: $x < a+3$.

Случай 3: $a-3 = 0$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (3-3)(3+3)$, что равносильно $0 > 0$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (a+3, +\infty)$; если $a < 3$, то $x \in (-\infty, a+3)$; если $a = 3$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

8)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x \leq a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

Неравенство принимает вид: $(a+2)x \leq (a-2)(a+2)$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на положительное число $a+2$: $x \leq a-2$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на отрицательное число $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \geq a-2$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq (-2)^2 - 4$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, a-2]$; если $a < -2$, то $x \in [a-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.