Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. При каких значениях $b$ имеет отрицательный корень уравнение:

1) $3x - 4 = 2b$;

2) $(b + 1)x = 7$?

1)

Рассмотрим уравнение $3x - 4 = 2b$. Чтобы найти значения параметра $b$, при которых корень уравнения будет отрицательным, сначала выразим $x$ через $b$.

Перенесем $-4$ в правую часть уравнения:

$3x = 2b + 4$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{2b + 4}{3}$

По условию задачи, корень $x$ должен быть отрицательным, то есть $x < 0$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{2b + 4}{3} < 0$

Так как знаменатель 3 — положительное число, знак неравенства сохранится, если мы умножим обе части на 3:

$2b + 4 < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$2b < -4$

Разделим обе части на 2:

$b < -2$

Таким образом, уравнение имеет отрицательный корень при всех значениях $b$ меньших -2.

Ответ: $b \in (-\infty; -2)$.

2)

Рассмотрим уравнение $(b + 1)x = 7$.

Чтобы это уравнение имело единственный корень, коэффициент при $x$ не должен быть равен нулю. Если $b + 1 = 0$, то есть $b = -1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 7$, что неверно ни при каком $x$. Следовательно, при $b = -1$ уравнение не имеет корней.

Если $b + 1 \neq 0$ (т.е. $b \neq -1$), мы можем выразить $x$:

$x = \frac{7}{b+1}$

По условию, корень $x$ должен быть отрицательным: $x < 0$. Составим неравенство:

$\frac{7}{b+1} < 0$

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Числитель 7 — положительное число. Следовательно, знаменатель должен быть отрицательным:

$b + 1 < 0$

Решим это простое неравенство:

$b < -1$

Это условие не противоречит ранее найденному ограничению $b \neq -1$.

Значит, уравнение имеет отрицательный корень при всех значениях $b$ меньших -1.

Ответ: $b \in (-\infty; -1)$.

36. При каких значениях $b$ имеет единственный положительный корень уравнение:

1) $(b - 3)x = b^2 - 9;$

2) $(5b^2 + 7b)x = b?$

37. При каких значениях $a$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 3x + 5a = 0$;

2) $(a + 3)x^2 - (2a - 1)x + a = 0$;

3) $(a - 5)x^2 - 2(a - 6)x + a - 4 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
2. Дискриминант квадратного уравнения должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

1) $x^2 - 3x + 5a = 0$

Данное уравнение является квадратным при любом значении a, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a) = 9 - 20a$.
Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$:
$9 - 20a > 0$
$9 > 20a$
$a < \frac{9}{20}$

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{9}{20})$.

2) $(a+3)x^2 - (2a-1)x + a = 0$

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$a + 3 \neq 0 \implies a \neq -3$.
Если $a = -3$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - (2(-3)-1)x - 3 = 0$, то есть $7x - 3 = 0$, которое имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(2a-1))^2 - 4(a+3)a = (2a-1)^2 - 4a(a+3) = (4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 + 12a) = -16a + 1$.
Условие $D > 0$:
$-16a + 1 > 0$
$1 > 16a$
$a < \frac{1}{16}$.
Объединяя оба условия ($a < \frac{1}{16}$ и $a \neq -3$), получаем искомый диапазон значений для a.

Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{1}{16})$.

3) $(a-5)x^2 - 2(a-6)x + a - 4 = 0$

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$a - 5 \neq 0 \implies a \neq 5$.
Если $a = 5$, уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 - 2(5-6)x + 5 - 4 = 0$, то есть $2x + 1 = 0$, которое имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2. Так как коэффициент при x является четным числом, для упрощения вычислений воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (-(a-6))^2 - (a-5)(a-4) = (a-6)^2 - (a-5)(a-4)$.
$D_1 = (a^2 - 12a + 36) - (a^2 - 9a + 20) = a^2 - 12a + 36 - a^2 + 9a - 20 = -3a + 16$.
Условие наличия двух различных действительных корней — $D_1 > 0$ (что эквивалентно $D > 0$):
$-3a + 16 > 0$
$16 > 3a$
$a < \frac{16}{3}$.
Объединяя оба условия ($a < \frac{16}{3}$ и $a \neq 5$), и учитывая, что $5 = \frac{15}{3} < \frac{16}{3}$, необходимо исключить точку $a=5$ из полученного интервала.

Ответ: $a \in (-\infty; 5) \cup (5; \frac{16}{3})$.

38. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(a+2)x > 0;$

2) $(a+2)x < 3;$

3) $(a+2)x \ge a+2;$

4) $(a+2)^2x \le 0;$

5) $a+2x \ge 3-ax;$

6) $3(a-x) \le 9-ax;$

7) $(a-3)x > a^2-9;$

8) $(a+2)x \le a^2-4;$

1)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x > 0$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
В этом случае делим обе части неравенства на положительное число $a+2$, знак неравенства сохраняется:$x > \frac{0}{a+2} \implies x > 0$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
В этом случае делим обе части неравенства на отрицательное число $a+2$, знак неравенства меняется на противоположный:$x < \frac{0}{a+2} \implies x < 0$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, что равносильно $0 > 0$. Это неверное утверждение, следовательно, при $a = -2$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (0, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, 0)$; если $a = -2$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

2)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x < 3$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на $a+2$: $x < \frac{3}{a+2}$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на $a+2$ и меняем знак неравенства: $x > \frac{3}{a+2}$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x < 3$, что равносильно $0 < 3$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, \frac{3}{a+2})$; если $a < -2$, то $x \in (\frac{3}{a+2}, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

3)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x \geq a+2$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на положительное число $a+2$: $x \geq \frac{a+2}{a+2} \implies x \geq 1$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на отрицательное число $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \leq \frac{a+2}{a+2} \implies x \leq 1$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 0$, что равносильно $0 \geq 0$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, 1]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

4)

Рассмотрим неравенство $(a+2)^2 x \leq 0$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a+2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a+2)^2 \geq 0$.

Случай 1: $(a+2)^2 > 0$, то есть $a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$.
Делим обе части на положительное число $(a+2)^2$: $x \leq \frac{0}{(a+2)^2} \implies x \leq 0$.

Случай 2: $(a+2)^2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq 0$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq -2$, то $x \in (-\infty, 0]$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

5)

Преобразуем неравенство $a + 2x \geq 3 - ax$, сгруппировав члены с $x$ в левой части:
$2x + ax \geq 3 - a$
$(a+2)x \geq 3 - a$

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на $a+2$: $x \geq \frac{3-a}{a+2}$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \leq \frac{3-a}{a+2}$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \geq 3 - (-2)$, что равносильно $0 \geq 5$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in [\frac{3-a}{a+2}, +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty, \frac{3-a}{a+2}]$; если $a = -2$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

6)

Преобразуем неравенство $3(a-x) \leq 9 - ax$:

$3a - 3x \leq 9 - ax$
$ax - 3x \leq 9 - 3a$
$(a-3)x \leq 3(3-a)$
$(a-3)x \leq -3(a-3)$

Решение зависит от знака коэффициента $a-3$.

Случай 1: $a-3 > 0$, то есть $a > 3$.
Делим обе части на положительное число $a-3$: $x \leq \frac{-3(a-3)}{a-3} \implies x \leq -3$.

Случай 2: $a-3 < 0$, то есть $a < 3$.
Делим обе части на отрицательное число $a-3$ и меняем знак неравенства: $x \geq \frac{-3(a-3)}{a-3} \implies x \geq -3$.

Случай 3: $a-3 = 0$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq -3(0)$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом $x$.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (-\infty, -3]$; если $a < 3$, то $x \in [-3, +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

7)

Рассмотрим неравенство $(a-3)x > a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$.

Неравенство принимает вид: $(a-3)x > (a-3)(a+3)$.

Решение зависит от знака коэффициента $a-3$.

Случай 1: $a-3 > 0$, то есть $a > 3$.
Делим обе части на положительное число $a-3$: $x > a+3$.

Случай 2: $a-3 < 0$, то есть $a < 3$.
Делим обе части на отрицательное число $a-3$ и меняем знак неравенства: $x < a+3$.

Случай 3: $a-3 = 0$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x > (3-3)(3+3)$, что равносильно $0 > 0$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > 3$, то $x \in (a+3, +\infty)$; если $a < 3$, то $x \in (-\infty, a+3)$; если $a = 3$, то решений нет ($x \in \emptyset$).

8)

Рассмотрим неравенство $(a+2)x \leq a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

Неравенство принимает вид: $(a+2)x \leq (a-2)(a+2)$.

Решение зависит от знака коэффициента $a+2$.

Случай 1: $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части на положительное число $a+2$: $x \leq a-2$.

Случай 2: $a+2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части на отрицательное число $a+2$ и меняем знак неравенства: $x \geq a-2$.

Случай 3: $a+2 = 0$, то есть $a = -2$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot x \leq (-2)^2 - 4$, что равносильно $0 \leq 0$. Это верное утверждение при любом $x$.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (-\infty, a-2]$; если $a < -2$, то $x \in [a-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, +\infty)$.

39. Среди чисел $-5; 3,5; 8$ укажите решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x > -7, \\ x < 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 2 > x + 4, \\ 7x - 4 > x + 3. \end{cases}$

Для того чтобы определить, какие из чисел $-5$; $3,5$; $8$ являются решениями систем неравенств, нужно сначала найти общее решение для каждой системы, а затем проверить, принадлежат ли указанные числа этому решению.

1) Рассмотрим первую систему неравенств:
$ \begin{cases} x > -7, \\ x < 12. \end{cases} $
Решением этой системы являются все значения $x$, которые одновременно больше $-7$ и меньше $12$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-7 < x < 12$. Решением является интервал $(-7; 12)$.
Теперь проверим, принадлежат ли предложенные числа этому интервалу:
- Для числа $-5$: неравенство $-7 < -5 < 12$ является верным. Значит, $-5$ — решение системы.
- Для числа $3,5$: неравенство $-7 < 3,5 < 12$ является верным. Значит, $3,5$ — решение системы.
- Для числа $8$: неравенство $-7 < 8 < 12$ является верным. Значит, $8$ — решение системы.
Все предложенные числа являются решениями данной системы.
Ответ: $-5$; $3,5$; $8$.

2) Рассмотрим вторую систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x - 2 > x + 4, \\ 7x - 4 > x + 3. \end{cases} $
Решим каждое неравенство отдельно.
Решение первого неравенства:
$3x - x > 4 + 2$
$2x > 6$
$x > 3$
Решение второго неравенства:
$7x - x > 3 + 4$
$6x > 7$
$x > \frac{7}{6}$ или $x > 1\frac{1}{6}$
Решением системы является пересечение полученных решений, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 3$ и $x > \frac{7}{6}$. Поскольку любое число, которое больше $3$, автоматически больше и $\frac{7}{6}$, общим решением системы будет $x > 3$. Решением является интервал $(3; +\infty)$.
Теперь проверим, принадлежат ли предложенные числа этому интервалу:
- Для числа $-5$: неравенство $-5 > 3$ является неверным. Значит, $-5$ не является решением системы.
- Для числа $3,5$: неравенство $3,5 > 3$ является верным. Значит, $3,5$ — решение системы.
- Для числа $8$: неравенство $8 > 3$ является верным. Значит, $8$ — решение системы.
Решениями данной системы являются числа $3,5$ и $8$.
Ответ: $3,5$; $8$.

40. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $(-5; 2);$

2) $[-5; 2];$

3) $[-5; 2);$

4) $(-5; 2].$

1) (-5; 2)

Данный промежуток называется открытым интервалом. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -5 и строго меньше 2. В виде двойного неравенства это записывается так: $-5 < x < 2$.

Чтобы изобразить этот промежуток на координатной прямой, необходимо отметить точки -5 и 2. Так как скобки круглые, обе граничные точки не включаются в интервал. На прямой они обозначаются "выколотыми" или "пустыми" точками (кружочками). Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечаются точки -5 и 2 пустыми кружками, а промежуток между ними заштриховывается. Это соответствует множеству чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-5 < x < 2$.

2) [-5; 2]

Данный промежуток называется отрезком или замкнутым интервалом. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -5 и меньше или равны 2, включая сами числа -5 и 2. В виде двойного неравенства это записывается так: $-5 \le x \le 2$.

Чтобы изобразить этот промежуток на координатной прямой, необходимо отметить точки -5 и 2. Так как скобки квадратные, обе граничные точки включаются в отрезок. На прямой они обозначаются закрашенными или "сплошными" точками (кружочками). Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой отмечаются точки -5 и 2 закрашенными кружками, а промежуток между ними заштриховывается. Это соответствует множеству чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-5 \le x \le 2$.

3) [-5; 2)

Данный промежуток называется полуинтервалом. Он включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -5 и строго меньше 2. В виде двойного неравенства это записывается так: $-5 \le x < 2$.

Для изображения на координатной прямой отмечаем точки -5 и 2. Левая скобка квадратная, значит, число -5 включается в промежуток и обозначается закрашенной точкой. Правая скобка круглая, значит, число 2 не включается в промежуток и обозначается выколотой (пустой) точкой. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой точка -5 отмечается закрашенным кружком, а точка 2 — пустым кружком. Промежуток между ними заштриховывается. Это соответствует множеству чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-5 \le x < 2$.

4) (-5; 2]

Данный промежуток также является полуинтервалом. Он включает в себя все действительные числа, которые строго больше -5 и меньше или равны 2. В виде двойного неравенства это записывается так: $-5 < x \le 2$.

Для изображения на координатной прямой отмечаем точки -5 и 2. Левая скобка круглая, значит, число -5 не включается в промежуток и обозначается выколотой (пустой) точкой. Правая скобка квадратная, значит, число 2 включается в промежуток и обозначается закрашенной точкой. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: На координатной прямой точка -5 отмечается пустым кружком, а точка 2 — закрашенным кружком. Промежуток между ними заштриховывается. Это соответствует множеству чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-5 < x \le 2$.

41. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задается неравенством:

1) $2 < x < 4$;

2) $\frac{1}{4} \leq x \leq 2\frac{2}{3}$;

3) $-2,1 \leq x < 5,2$;

4) $-0,2 < x \leq 3,3$.

1) Неравенство $2 < x < 4$ задает числовой промежуток, который состоит из всех чисел, больших 2 и меньших 4. Так как неравенство строгое (знаки $<$), то числа 2 и 4 не включаются в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде интервала с выколотыми (пустыми) точками на концах.

В виде промежутка это записывается с помощью круглых скобок.

Ответ: $(2; 4)$.

2) Неравенство $\frac{1}{4} \leq x \leq 2\frac{2}{3}$ задает числовой промежуток, который состоит из всех чисел, больших или равных $\frac{1}{4}$ и меньших или равных $2\frac{2}{3}$. Так как неравенство нестрогое (знаки $\leq$), то числа $\frac{1}{4}$ и $2\frac{2}{3}$ включаются в этот промежуток. На координатной прямой это изображается в виде отрезка с закрашенными точками на концах.

В виде промежутка это записывается с помощью квадратных скобок.

Ответ: $[\frac{1}{4}; 2\frac{2}{3}]$.

3) Неравенство $-2,1 \leq x < 5,2$ задает числовой промежуток, который состоит из всех чисел, больших или равных -2,1 и строго меньших 5,2. Левая граница -2,1 включается в промежуток (нестрогое неравенство $\leq$), а правая граница 5,2 не включается (строгое неравенство $<$). На координатной прямой это изображается в виде полуинтервала с закрашенной точкой на левом конце и выколотой на правом.

В виде промежутка это записывается с помощью квадратной скобки для включаемой границы и круглой для не включаемой.

Ответ: $[-2,1; 5,2)$.

4) Неравенство $-0,2 < x \leq 3,3$ задает числовой промежуток, который состоит из всех чисел, строго больших -0,2 и меньших или равных 3,3. Левая граница -0,2 не включается в промежуток (строгое неравенство $<$), а правая граница 3,3 включается (нестрогое неравенство $\leq$). На координатной прямой это изображается в виде полуинтервала с выколотой точкой на левом конце и закрашенной на правом.

В виде промежутка это записывается с помощью круглой скобки для не включаемой границы и квадратной для включаемой.

Ответ: $(-0,2; 3,3]$.

42. Запишите все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[2; 7];$

2) $(1,3; 5);$

3) $[-2,3; 3,4];$

4) $(-5,1; 1,4).$

1) Промежуток $[2; 7]$ — это замкнутый интервал (отрезок). Это означает, что в него входят все числа от 2 до 7, включая сами числа 2 и 7. Чтобы найти все целые числа, принадлежащие этому промежутку, нужно перечислить все целые числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $2 \le x \le 7$.
Целые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) Промежуток $(1,3; 5)$ — это открытый интервал. Это означает, что в него входят все числа между 1,3 и 5, но сами числа 1,3 и 5 в него не входят. Чтобы найти все целые числа, принадлежащие этому промежутку, нужно перечислить все целые числа $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $1,3 < x < 5$.
Первое целое число, большее 1,3, — это 2. Последнее целое число, меньшее 5, — это 4.
Целые числа: 2, 3, 4.
Ответ: 2, 3, 4.

3) Промежуток $[-2,3; 3,4]$ — это замкнутый интервал (отрезок). В него входят все числа от -2,3 до 3,4, включая сами концы. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $-2,3 \le x \le 3,4$.
Первое целое число, которое не меньше -2,3, — это -2. Последнее целое число, которое не больше 3,4, — это 3.
Целые числа: -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

4) Промежуток $(-5,1; 1,4)$ — это открытый интервал. В него входят все числа между -5,1 и 1,4, не включая сами концы. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять строгому неравенству $-5,1 < x < 1,4$.
Первое целое число, большее -5,1, — это -5. Последнее целое число, меньшее 1,4, — это 1.
Целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

43. Укажите наибольшее и наименьшее целые числа, принадлежащие промежутку:

1) $[-6; -2]$; 2) $(3; 15]$.

1) Дан промежуток $[-6; -2]$. Это замкнутый отрезок, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-6 \le x \le -2$. Мы ищем наибольшее и наименьшее целые числа в этом промежутке. Поскольку концы отрезка, $-6$ и $-2$, являются целыми числами и включены в промежуток (на что указывают квадратные скобки), то наименьшее целое число в этом промежутке — это $-6$, а наибольшее целое число — это $-2$.
Ответ: наименьшее целое число: $-6$, наибольшее целое число: $-2$.

2) Дан промежуток $(3; 15]$. Это полуинтервал, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $3 < x \le 15$. Круглая скобка означает, что левая граница, число $3$, не входит в промежуток. Квадратная скобка означает, что правая граница, число $15$, входит в промежуток. Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $x > 3$, — это $4$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $x \le 15$, — это $15$.
Ответ: наименьшее целое число: $4$, наибольшее целое число: $15$.