Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Сравните числа c и d, если:

1) $c - d = 1;$

2) $d - c = 7;$

3) $c = d - 0,9;$

4) $d = c + 0,1.$

1) Дано равенство $c - d = 1$.

Разность чисел $c$ и $d$ — это положительное число ($1 > 0$). По определению, если разность $a - b$ положительна, то $a > b$. Следовательно, $c > d$.

Другой способ: выразим $c$ из равенства. Получим $c = d + 1$. Это означает, что число $c$ на 1 больше, чем число $d$.

Ответ: $c > d$.

2) Дано равенство $d - c = 7$.

Разность чисел $d$ и $c$ — это положительное число ($7 > 0$). Это означает, что уменьшаемое $d$ больше вычитаемого $c$.

Другой способ: выразим $d$ из равенства. Получим $d = c + 7$. Это означает, что число $d$ на 7 больше, чем число $c$.

Ответ: $c < d$.

3) Дано равенство $c = d - 0,9$.

Преобразуем равенство, чтобы найти разность $c - d$. Для этого перенесём $d$ в левую часть: $c - d = -0,9$.

Разность чисел $c$ и $d$ — это отрицательное число ($-0,9 < 0$). По определению, если разность $a - b$ отрицательна, то $a < b$. Следовательно, $c < d$.

Ответ: $c < d$.

4) Дано равенство $d = c + 0,1$.

Преобразуем равенство, чтобы найти разность $d - c$. Для этого перенесём $c$ в левую часть: $d - c = 0,1$.

Разность чисел $d$ и $c$ — это положительное число ($0,1 > 0$). Это означает, что уменьшаемое $d$ больше вычитаемого $c$.

Ответ: $c < d$.

2. Точка C(4) расположена на координатной прямой левее точки D(x). Какое из утверждений верно:

1) $x > 4$;

2) $x < 4$;

3) $x = 4$;

4) числа x и 4 сравнить невозможно?

По условию задачи, точка $C$ с координатой 4 расположена на координатной прямой левее точки $D$ с координатой $x$.

На координатной прямой бóльшие числа всегда находятся правее, а меньшие — левее. Это означает, что если точка расположена левее другой точки, ее координата меньше.

Следовательно, координата точки $C$ должна быть меньше координаты точки $D$. Мы можем записать это в виде неравенства:
$4 < x$

Это неравенство эквивалентно записи $x > 4$. Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.

1) $x > 4$
Это утверждение полностью соответствует нашему выводу. Если координата $x$ больше 4, то точка $D(x)$ находится правее точки $C(4)$, а значит, точка $C(4)$ находится левее точки $D(x)$. Это верное утверждение.

2) $x < 4$
Это утверждение означало бы, что точка $D(x)$ расположена левее точки $C(4)$, что напрямую противоречит условию задачи.

3) $x = 4$
Это утверждение означало бы, что точки $C$ и $D$ совпадают, то есть являются одной и той же точкой. Это противоречит условию, согласно которому одна точка расположена левее другой.

4) числа x и 4 сравнить невозможно
Это утверждение неверно. Условие о взаимном расположении точек на координатной прямой как раз и позволяет нам однозначно сравнить их координаты.

Таким образом, единственное верное утверждение из предложенных — это первое.
Ответ: 1) $x > 4$.

3. Докажите неравенство:

1) $(a+6)(a-9) > (a+11)(a-14);$

2) $(a-10)^2 - 12 < (a-7)(a-13);$

3) $(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 \le 14(5a-4) + 6.$

1)

Для доказательства неравенства $(a+6)(a-9) > (a+11)(a-14)$ раскроем скобки в обеих его частях.

Левая часть: $(a+6)(a-9) = a \cdot a + a \cdot (-9) + 6 \cdot a + 6 \cdot (-9) = a^2 - 9a + 6a - 54 = a^2 - 3a - 54$.

Правая часть: $(a+11)(a-14) = a \cdot a + a \cdot (-14) + 11 \cdot a + 11 \cdot (-14) = a^2 - 14a + 11a - 154 = a^2 - 3a - 154$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$a^2 - 3a - 54 > a^2 - 3a - 154$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$a^2 - 3a - 54 - a^2 + 3a + 154 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-3a + 3a) + (-54 + 154) > 0$

$100 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a-10)^2 - 12 < (a-7)(a-13)$ преобразуем обе его части.

Левая часть, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$(a-10)^2 - 12 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 10 + 10^2) - 12 = a^2 - 20a + 100 - 12 = a^2 - 20a + 88$.

Правая часть, раскрывая скобки:

$(a-7)(a-13) = a \cdot a + a \cdot (-13) - 7 \cdot a - 7 \cdot (-13) = a^2 - 13a - 7a + 91 = a^2 - 20a + 91$.

Подставим полученные выражения в неравенство:

$a^2 - 20a + 88 < a^2 - 20a + 91$

Перенесем члены из правой части в левую:

$a^2 - 20a + 88 - a^2 + 20a - 91 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-20a + 20a) + (88 - 91) < 0$

$-3 < 0$

Получено верное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

3)

Для доказательства неравенства $(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 \leq 14(5a-4)+6$ выполним преобразования.

Преобразуем левую часть. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, а для второго — формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 = ((4a)^2 - 1^2) - ((5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 7 + 7^2) = (16a^2 - 1) - (25a^2 - 70a + 49) = 16a^2 - 1 - 25a^2 + 70a - 49 = -9a^2 + 70a - 50$.

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$14(5a-4)+6 = 14 \cdot 5a - 14 \cdot 4 + 6 = 70a - 56 + 6 = 70a - 50$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:

$-9a^2 + 70a - 50 \leq 70a - 50$

Перенесем все члены в левую часть:

$-9a^2 + 70a - 50 - 70a + 50 \leq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-9a^2 \leq 0$

Выражение $a^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $a^2 \geq 0$. При умножении этого выражения на отрицательное число $-9$, результат будет всегда неположительным (меньше или равен нулю): $-9a^2 \leq 0$.

Так как мы пришли к верному неравенству, которое справедливо для любого $a$, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 8a + 17 > 0;$

2) $6y - 9y^2 - 4 < 0;$

3) $a(a - 10) > 4(a - 13);$

4) $x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 \ge 0;$

5) $x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0;$

6) $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 6}} \ge 2.$

1) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат: $a^2 - 8a + 17 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 - 4^2 + 17 = (a^2 - 8a + 16) + 1 = (a - 4)^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, $(a - 4)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Поскольку $1 > 0$, то и исходное выражение $a^2 - 8a + 17$ всегда больше нуля для любого значения $a$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

2) Преобразуем левую часть неравенства $6y - 9y^2 - 4 < 0$. Вынесем знак минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 4) < 0$. Теперь выделим полный квадрат в скобках: $9y^2 - 6y + 4 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 4 = ((3y)^2 - 6y + 1) + 3 = (3y - 1)^2 + 3$. Таким образом, исходное выражение равно $ -((3y - 1)^2 + 3) = -(3y - 1)^2 - 3$. Так как $(3y - 1)^2 \ge 0$, то $-(3y - 1)^2 \le 0$. Следовательно, $-(3y - 1)^2 - 3 \le 0 - 3 = -3$. Поскольку $-3 < 0$, то и исходное выражение $6y - 9y^2 - 4$ всегда строго меньше нуля для любого значения $y$. Ответ: Неравенство доказано.

3) Раскроем скобки в обеих частях неравенства $a(a - 10) > 4(a - 13)$ и перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 10a > 4a - 52$ $a^2 - 10a - 4a + 52 > 0$ $a^2 - 14a + 52 > 0$ Выделим полный квадрат в левой части полученного неравенства: $a^2 - 14a + 52 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 49) - 49 + 52 = (a - 7)^2 + 3$. Так как $(a - 7)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a - 7)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Поскольку $3 > 0$, то неравенство $a^2 - 14a + 52 > 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство. Ответ: Неравенство доказано.

4) Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства и выделим полные квадраты для каждой переменной: $x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 = (x^2 + 2x) + (9y^2 + 6y) + 2$. Для первой скобки: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$. Для второй скобки: $9y^2 + 6y = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (3y + 1)^2 - 1$. Подставим полученные выражения обратно в исходное: $((x + 1)^2 - 1) + ((3y + 1)^2 - 1) + 2 = (x + 1)^2 + (3y + 1)^2$. Сумма квадратов двух действительных чисел всегда неотрицательна: $(x + 1)^2 \ge 0$ и $(3y + 1)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма $(x + 1)^2 + (3y + 1)^2 \ge 0$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

5) Представим левую часть неравенства в виде суммы квадратов. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$: $x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 = (x^2 - 6xy + 9y^2) + y^2 - 4y + 7$. Первые три слагаемых образуют полный квадрат: $(x - 3y)^2$. Выражение принимает вид: $(x - 3y)^2 + y^2 - 4y + 7$. Теперь выделим полный квадрат в оставшейся части с переменной $y$: $y^2 - 4y + 7 = (y^2 - 4y + 4) + 3 = (y - 2)^2 + 3$. Таким образом, исходное выражение равно $(x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3$. Так как $(x - 3y)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$, их сумма неотрицательна. Тогда $(x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Поскольку $3 > 0$, то и исходное выражение всегда строго больше нуля. Ответ: Неравенство доказано.

6) Определим область допустимых значений. Выражение под корнем $x^2 + 6$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$. Поэтому знаменатель $\sqrt{x^2 + 6}$ всегда определен и положителен. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x^2 + 6}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 6 \ge 6$, и, следовательно, $t \ge \sqrt{6}$. Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 6$, откуда $x^2 = t^2 - 6$. Подставим это в числитель исходного выражения: $x^2 + 7 = (t^2 - 6) + 7 = t^2 + 1$. Неравенство принимает вид $\frac{t^2+1}{t} \ge 2$. Так как $t \ge \sqrt{6}$, то $t > 0$. Мы можем умножить обе части на $t$, не меняя знака неравенства: $t^2 + 1 \ge 2t$. Перенесем все в левую часть: $t^2 - 2t + 1 \ge 0$. Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(t - 1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного значения $t$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку $t$ всегда является действительным числом при любом $x$, исходное неравенство также верно. Ответ: Неравенство доказано.

5. Докажите, что:

1) $x^2(x - y) \ge y^2(x - y)$, если $x \ge 0$ и $y \ge 0$;

2) $x^3 - 4x^2 + 8x - 32 \ge 0$, если $x \ge 4$.

1)

Для доказательства неравенства $x^2(x-y) \ge y^2(x-y)$ при условиях $x \ge 0$ и $y \ge 0$ преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2(x-y) - y^2(x-y) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x^2 - y^2)(x-y) \ge 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первого множителя:

$(x-y)(x+y)(x-y) \ge 0$

Сгруппируем множители:

$(x-y)^2(x+y) \ge 0$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий:

1. Первый множитель $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

2. Второй множитель $(x+y)$ является суммой двух неотрицательных чисел, так как по условию $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, то есть $x+y \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей $((x-y)^2$ и $(x+y))$ всегда будет неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x-y)^2(x+y) \ge 0$ верно, а значит, и исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2)

Для доказательства неравенства $x^3 - 4x^2 + 8x - 32 \ge 0$ при условии $x \ge 4$ разложим его левую часть на множители.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 4x^2) + (8x - 32) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x-4) + 8(x-4) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:

$(x-4)(x^2 + 8) \ge 0$

Теперь проанализируем полученные множители с учетом условия $x \ge 4$:

1. Первый множитель $(x-4)$. Так как по условию $x \ge 4$, то разность $x-4$ будет неотрицательной, то есть $x-4 \ge 0$.

2. Второй множитель $(x^2+8)$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, сумма $x^2+8$ всегда будет положительной ($x^2+8 \ge 8$).

Произведение неотрицательного множителя $(x-4)$ и положительного множителя $(x^2+8)$ всегда будет неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x-4)(x^2 + 8) \ge 0$ верно, а значит, и исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

6. Докажите, что:

1) $(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \ge 4$, если $x > 0, y > 0$;

2) $(x + 1)(y + 2)(z + 8) \ge 32\sqrt{xyz}$, если $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$.

1)

Для доказательства неравенства $(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \geq 4$ при условиях $x > 0, y > 0$ можно использовать два способа.

Способ 1: Раскрытие скобок и применение неравенства Коши

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) = xy + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot y + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} = xy + 1 + 1 + \frac{1}{xy} = xy + \frac{1}{xy} + 2$.

Теперь нам нужно доказать, что $xy + \frac{1}{xy} + 2 \geq 4$, что равносильно доказательству $xy + \frac{1}{xy} \geq 2$.

Обозначим $a = xy$. Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, то $a > 0$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $\frac{1}{a}$:

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \geq \sqrt{1}$

$a + \frac{1}{a} \geq 2$.

Поскольку $xy + \frac{1}{xy} \geq 2$, мы можем прибавить 2 к обеим частям неравенства:

$xy + \frac{1}{xy} + 2 \geq 4$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Применение неравенства Коши к каждому сомножителю

Применим неравенство Коши $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ для положительных $a$ и $b$ к каждой из скобок.

Для первой скобки ($x > 0, \frac{1}{y} > 0$):

$x + \frac{1}{y} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{y}} = 2\sqrt{\frac{x}{y}}$.

Для второй скобки ($y > 0, \frac{1}{x} > 0$):

$y + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{x}} = 2\sqrt{\frac{y}{x}}$.

Так как обе части полученных неравенств положительны, их можно перемножить:

$(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \geq \left(2\sqrt{\frac{x}{y}}\right) \cdot \left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)$

$(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \geq 4\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 4\sqrt{1} = 4$.

Таким образом, $(x + \frac{1}{y})(y + \frac{1}{x}) \geq 4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Докажем неравенство $(x + 1)(y + 2)(z + 8) \geq 32\sqrt{xyz}$ при условиях $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для неотрицательных чисел $a$ и $b$: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, или $a+b \geq 2\sqrt{ab}$.

Применим это неравенство последовательно к каждому из трех сомножителей в левой части.

Для первого сомножителя ($x \geq 0, 1 > 0$):

$x + 1 \geq 2\sqrt{x \cdot 1} = 2\sqrt{x}$.

Для второго сомножителя ($y \geq 0, 2 > 0$):

$y + 2 \geq 2\sqrt{y \cdot 2} = 2\sqrt{2y}$.

Для третьего сомножителя ($z \geq 0, 8 > 0$):

$z + 8 \geq 2\sqrt{z \cdot 8} = 2\sqrt{8z}$.

Поскольку все части полученных неравенств являются неотрицательными, мы можем их перемножить:

$(x + 1)(y + 2)(z + 8) \geq (2\sqrt{x}) \cdot (2\sqrt{2y}) \cdot (2\sqrt{8z})$.

Теперь преобразуем правую часть этого неравенства:

$(2\sqrt{x})(2\sqrt{2y})(2\sqrt{8z}) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot \sqrt{x \cdot 2y \cdot 8z} = 8\sqrt{16xyz}$.

Учитывая, что $\sqrt{16} = 4$, получаем:

$8\sqrt{16xyz} = 8 \cdot 4\sqrt{xyz} = 32\sqrt{xyz}$.

Таким образом, мы доказали, что:

$(x + 1)(y + 2)(z + 8) \geq 32\sqrt{xyz}$.

Равенство достигается при $x=1, y=2, z=8$.

Ответ: Неравенство доказано.

7. Известно, что $m < n$. Сравните:

1) $m+9$ и $n+9$;

2) $n-3$ и $m-3$;

3) $2,7n$ и $2,7m$;

4) $-n$ и $-m$;

5) $-20m$ и $-20n$;

6) $\frac{m}{8}$ и $\frac{n}{8}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Исходное условие: $m < n$.

1) m + 9 и n + 9

Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям неравенства $m < n$ число 9.

$m + 9 < n + 9$

Ответ: $m + 9 < n + 9$.

2) n - 3 и m - 3

Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем из обеих частей неравенства $m < n$ число 3.

$m - 3 < n - 3$

Это же неравенство можно записать как $n - 3 > m - 3$.

Ответ: $n - 3 > m - 3$.

3) 2,7n и 2,7m

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части неравенства $m < n$ на положительное число 2,7.

$2,7m < 2,7n$

Это же неравенство можно записать как $2,7n > 2,7m$.

Ответ: $2,7n > 2,7m$.

4) -n и -m

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Умножим обе части неравенства $m < n$ на -1.

$m \cdot (-1) > n \cdot (-1)$

$-m > -n$

Это же неравенство можно записать как $-n < -m$.

Ответ: $-n < -m$.

5) -20m и -20n

Умножим обе части верного неравенства $m < n$ на отрицательное число -20. При этом знак неравенства изменится на противоположный (с "<" на ">").

$m \cdot (-20) > n \cdot (-20)$

$-20m > -20n$

Ответ: $-20m > -20n$.

6) $\frac{m}{8}$ и $\frac{n}{8}$

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Разделим обе части неравенства $m < n$ на положительное число 8.

$\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$

Ответ: $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$.