Номер 3, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Докажите неравенство:

1) $(a+6)(a-9) > (a+11)(a-14);$

2) $(a-10)^2 - 12 < (a-7)(a-13);$

3) $(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 \le 14(5a-4) + 6.$

1)

Для доказательства неравенства $(a+6)(a-9) > (a+11)(a-14)$ раскроем скобки в обеих его частях.

Левая часть: $(a+6)(a-9) = a \cdot a + a \cdot (-9) + 6 \cdot a + 6 \cdot (-9) = a^2 - 9a + 6a - 54 = a^2 - 3a - 54$.

Правая часть: $(a+11)(a-14) = a \cdot a + a \cdot (-14) + 11 \cdot a + 11 \cdot (-14) = a^2 - 14a + 11a - 154 = a^2 - 3a - 154$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$a^2 - 3a - 54 > a^2 - 3a - 154$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$a^2 - 3a - 54 - a^2 + 3a + 154 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-3a + 3a) + (-54 + 154) > 0$

$100 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $(a-10)^2 - 12 < (a-7)(a-13)$ преобразуем обе его части.

Левая часть, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$(a-10)^2 - 12 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 10 + 10^2) - 12 = a^2 - 20a + 100 - 12 = a^2 - 20a + 88$.

Правая часть, раскрывая скобки:

$(a-7)(a-13) = a \cdot a + a \cdot (-13) - 7 \cdot a - 7 \cdot (-13) = a^2 - 13a - 7a + 91 = a^2 - 20a + 91$.

Подставим полученные выражения в неравенство:

$a^2 - 20a + 88 < a^2 - 20a + 91$

Перенесем члены из правой части в левую:

$a^2 - 20a + 88 - a^2 + 20a - 91 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-20a + 20a) + (88 - 91) < 0$

$-3 < 0$

Получено верное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

3)

Для доказательства неравенства $(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 \leq 14(5a-4)+6$ выполним преобразования.

Преобразуем левую часть. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, а для второго — формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:

$(4a-1)(4a+1) - (5a-7)^2 = ((4a)^2 - 1^2) - ((5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 7 + 7^2) = (16a^2 - 1) - (25a^2 - 70a + 49) = 16a^2 - 1 - 25a^2 + 70a - 49 = -9a^2 + 70a - 50$.

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$14(5a-4)+6 = 14 \cdot 5a - 14 \cdot 4 + 6 = 70a - 56 + 6 = 70a - 50$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:

$-9a^2 + 70a - 50 \leq 70a - 50$

Перенесем все члены в левую часть:

$-9a^2 + 70a - 50 - 70a + 50 \leq 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-9a^2 \leq 0$

Выражение $a^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $a^2 \geq 0$. При умножении этого выражения на отрицательное число $-9$, результат будет всегда неположительным (меньше или равен нулю): $-9a^2 \leq 0$.

Так как мы пришли к верному неравенству, которое справедливо для любого $a$, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.