Номер 243, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = 36$, $b_4 = 16$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии, что $|q| < 1$.

По условию задачи даны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 36$ и $b_4 = 16$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, чтобы связать $b_4$ и $b_2$:$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$.

Подставим известные значения в формулу и найдем знаменатель $q$:$16 = 36 \cdot q^2$$q^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя: $q = \frac{2}{3}$ и $q = -\frac{2}{3}$.

Так как в обоих случаях $|q| = \frac{2}{3} < 1$, то сумма бесконечной прогрессии существует. Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем сумму для каждой из них.

1. Рассмотрим случай, когда $q = \frac{2}{3}$. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_2 = b_1 \cdot q$:$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{36}{2/3} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$. Теперь вычислим сумму прогрессии:$S_1 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{54}{1 - 2/3} = \frac{54}{1/3} = 54 \cdot 3 = 162$.

2. Рассмотрим случай, когда $q = -\frac{2}{3}$. Найдем первый член прогрессии $b_1$:$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{36}{-2/3} = 36 \cdot (-\frac{3}{2}) = -54$. Вычислим сумму прогрессии:$S_2 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-54}{1 - (-2/3)} = \frac{-54}{1 + 2/3} = \frac{-54}{5/3} = -54 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{162}{5} = -32,4$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 162 или -32,4.