Номер 5, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Докажите, что:

1) $x^2(x - y) \ge y^2(x - y)$, если $x \ge 0$ и $y \ge 0$;

2) $x^3 - 4x^2 + 8x - 32 \ge 0$, если $x \ge 4$.

1)

Для доказательства неравенства $x^2(x-y) \ge y^2(x-y)$ при условиях $x \ge 0$ и $y \ge 0$ преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2(x-y) - y^2(x-y) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x^2 - y^2)(x-y) \ge 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для первого множителя:

$(x-y)(x+y)(x-y) \ge 0$

Сгруппируем множители:

$(x-y)^2(x+y) \ge 0$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий:

1. Первый множитель $(x-y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

2. Второй множитель $(x+y)$ является суммой двух неотрицательных чисел, так как по условию $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, то есть $x+y \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей $((x-y)^2$ и $(x+y))$ всегда будет неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x-y)^2(x+y) \ge 0$ верно, а значит, и исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2)

Для доказательства неравенства $x^3 - 4x^2 + 8x - 32 \ge 0$ при условии $x \ge 4$ разложим его левую часть на множители.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 4x^2) + (8x - 32) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x-4) + 8(x-4) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(x-4)$ за скобки:

$(x-4)(x^2 + 8) \ge 0$

Теперь проанализируем полученные множители с учетом условия $x \ge 4$:

1. Первый множитель $(x-4)$. Так как по условию $x \ge 4$, то разность $x-4$ будет неотрицательной, то есть $x-4 \ge 0$.

2. Второй множитель $(x^2+8)$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, сумма $x^2+8$ всегда будет положительной ($x^2+8 \ge 8$).

Произведение неотрицательного множителя $(x-4)$ и положительного множителя $(x^2+8)$ всегда будет неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x-4)(x^2 + 8) \ge 0$ верно, а значит, и исходное неравенство доказано.

Ответ: Доказано.