Номер 11, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Верно ли утверждение:

1) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 16$;

2) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 15$;

3) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x+y > 17$;

4) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 28$;

5) если $x > 2$ и $y > 14$, то $x-y > -12$;

6) если $x > 2$ и $y > 14$, то $xy > 27$;

7) если $x > 2$ и $y > 14$, то $2x+3y > 46$;

8) если $x < 2$ и $y > 14$, то $y-x > 12$;

9) если $x < 2$ и $y < 14$, то $xy < 28$;

10) если $0 < x < 2$ и $0 < y < 14$, то $xy < 28$;

11) если $x > 5$, то $x^2 > 25$;

12) если $x < 5$, то $x^2 < 25$;

13) если $x > 5$, то $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$;

14) если $x < 5$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{5}$?

1) Даны неравенства $x > 2$ и $y > 14$. Так как знаки неравенств одинаковы, мы можем их почленно сложить. Складываем левые и правые части соответственно: $x + y > 2 + 14$, что приводит к $x + y > 16$. Утверждение полностью совпадает с полученным выводом. Ответ: Верно

2) Из условий $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $x + y > 16$, как было доказано в предыдущем пункте. Любое число, которое больше 16, также будет больше 15. Следовательно, если $x + y > 16$, то и $x + y > 15$. Ответ: Верно

3) Из $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $x + y > 16$. Однако, это не гарантирует, что сумма будет больше 17. Можно подобрать контрпример. Возьмем значения, близкие к граничным: пусть $x = 2.1$ и $y = 14.1$. Условия $2.1 > 2$ и $14.1 > 14$ выполняются. Их сумма $x + y = 2.1 + 14.1 = 16.2$. Неравенство $16.2 > 17$ неверно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

4) Поскольку $x > 2$ и $y > 14$, обе переменные принимают строго положительные значения. Неравенства одного знака с положительными частями можно перемножать. Перемножим левые и правые части: $x \cdot y > 2 \cdot 14$, что дает $xy > 28$. Утверждение верно. Ответ: Верно

5) Для анализа разности $x - y$ преобразуем неравенство $y > 14$, умножив его на -1, что меняет знак неравенства: $-y < -14$. Теперь у нас есть $x > 2$ и $-y < -14$. Сложить эти неравенства разных знаков нельзя. Приведем контрпример. Пусть $x = 3$ (что больше 2) и $y = 20$ (что больше 14). Тогда $x - y = 3 - 20 = -17$. Неравенство $-17 > -12$ ложно. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

6) Как было показано в пункте 4, из $x > 2$ и $y > 14$ следует, что $xy > 28$. Любое число, которое больше 28, очевидно, больше и 27. Следовательно, утверждение $xy > 27$ также верно. Ответ: Верно

7) Умножим неравенство $x > 2$ на положительное число 2, получим $2x > 4$. Умножим неравенство $y > 14$ на положительное число 3, получим $3y > 42$. Теперь сложим полученные неравенства одного знака: $2x + 3y > 4 + 42$, что равносильно $2x + 3y > 46$. Утверждение верно. Ответ: Верно

8) Преобразуем неравенство $x < 2$, умножив обе части на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный: $-x > -2$. Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $y > 14$ и $-x > -2$. Сложим их: $y + (-x) > 14 + (-2)$, что равносильно $y - x > 12$. Утверждение верно. Ответ: Верно

9) Утверждение неверно, так как переменные $x$ и $y$ могут быть отрицательными. Если перемножить два отрицательных числа, результат будет положительным и может быть больше 28. Приведем контрпример. Пусть $x = -10$ и $y = -5$. Условия $x < 2$ ($-10 < 2$) и $y < 14$ ($-5 < 14$) выполнены. Их произведение $xy = (-10) \cdot (-5) = 50$. Неравенство $50 < 28$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно. Ответ: Неверно

10) В данном случае $0 < x < 2$ и $0 < y < 14$, что означает, что обе переменные положительны. Так как $x < 2$ и $y < 14$ и все части неравенств положительны, их можно перемножить: $xy < 2 \cdot 14$, то есть $xy < 28$. Утверждение верно. Ответ: Верно

11) Если $x > 5$, то $x$ является положительным числом. Для неравенств, обе части которых положительны, при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется. Таким образом, из $x > 5$ следует $x^2 > 5^2$, то есть $x^2 > 25$. Утверждение верно. Ответ: Верно

12) Утверждение неверно, поскольку $x$ может быть отрицательным числом. Рассмотрим контрпример. Пусть $x = -10$. Условие $x < 5$ ($-10 < 5$) выполнено. Однако $x^2 = (-10)^2 = 100$. Неравенство $100 < 25$ является ложным. Утверждение было бы верным при условии $0 \le x < 5$. Ответ: Неверно

13) Если $x > 5$, то $x$ и 5 — положительные числа. При взятии обратной величины от обеих частей неравенства, если они одного знака, знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $x > 5$ следует, что $\frac{1}{x} < \frac{1}{5}$. Утверждение верно. Ответ: Верно

14) Утверждение неверно. Область $x < 5$ включает в себя ноль (при котором выражение $\frac{1}{x}$ не определено) и отрицательные числа. Приведем контрпример с отрицательным $x$. Пусть $x = -1$. Условие $x < 5$ ($-1 < 5$) выполнено. Тогда $\frac{1}{x} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{5}$ ложно, так как любое отрицательное число меньше любого положительного. Ответ: Неверно