Номер 15, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Дано: $3 < x < 8$ и $2 < y < 7$. Оцените значение выражения:

1) $x+y;$

2) $x-y;$

3) $xy;$

4) $\frac{x}{y};$

5) $2x+5y;$

6) $3x-4y;$

7) $\frac{6y}{5x};$

8) $\frac{0,6x-0,1y}{0,8x-0,3y}.$

1) x + y;
Чтобы оценить сумму $x+y$, сложим почленно данные неравенства:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ + \\ 2 < y < 7\end{array}$
--------------------
$3+2 < x+y < 8+7$
$5 < x+y < 15$
Ответ: $5 < x+y < 15$.

2) x – y;
Чтобы оценить разность $x-y$, представим ее в виде суммы $x+(-y)$. Сначала найдем границы для $-y$.
Известно, что $2 < y < 7$. Умножив все части неравенства на $-1$, мы сменим знаки неравенства на противоположные:
$-7 < -y < -2$.
Теперь сложим неравенства для $x$ и $-y$:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ + \\ -7 < -y < -2\end{array}$
--------------------
$3+(-7) < x+(-y) < 8+(-2)$
$-4 < x-y < 6$
Ответ: $-4 < x-y < 6$.

3) xy;
Поскольку все части исходных неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ \times \\ 2 < y < 7\end{array}$
--------------------
$3 \cdot 2 < xy < 8 \cdot 7$
$6 < xy < 56$
Ответ: $6 < xy < 56$.

4) x/y;
Чтобы оценить частное $x/y$, представим его в виде произведения $x \cdot (1/y)$. Сначала найдем границы для $1/y$.
Известно, что $2 < y < 7$. Так как все части неравенства положительны, то при взятии обратной величины знаки неравенства меняются:
$1/7 < 1/y < 1/2$.
Теперь перемножим неравенства для $x$ и $1/y$:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ \times \\ 1/7 < 1/y < 1/2\end{array}$
--------------------
$3 \cdot (1/7) < x \cdot (1/y) < 8 \cdot (1/2)$
$3/7 < x/y < 4$
Ответ: $3/7 < x/y < 4$.

5) 2x + 5y;
Сначала найдем границы для $2x$ и $5y$.
Умножим неравенство $3 < x < 8$ на 2: $6 < 2x < 16$.
Умножим неравенство $2 < y < 7$ на 5: $10 < 5y < 35$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$\begin{array}{c}6 < 2x < 16 \\ + \\ 10 < 5y < 35\end{array}$
--------------------
$6+10 < 2x+5y < 16+35$
$16 < 2x+5y < 51$
Ответ: $16 < 2x+5y < 51$.

6) 3x – 4y;
Сначала найдем границы для $3x$ и $-4y$.
Умножим неравенство $3 < x < 8$ на 3: $9 < 3x < 24$.
Умножим неравенство $2 < y < 7$ на $-4$ (при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются):
$2 \cdot (-4) > -4y > 7 \cdot (-4)$
$-8 > -4y > -28$, или $-28 < -4y < -8$.
Теперь сложим неравенства для $3x$ и $-4y$:
$\begin{array}{c}9 < 3x < 24 \\ + \\ -28 < -4y < -8\end{array}$
--------------------
$9+(-28) < 3x-4y < 24+(-8)$
$-19 < 3x-4y < 16$
Ответ: $-19 < 3x-4y < 16$.

7) 6y/5x;
Оценим значение выражения $\frac{6}{5} \cdot \frac{y}{x}$.
Сначала найдем границы для дроби $y/x = y \cdot (1/x)$.
Известно, что $2 < y < 7$.
Из $3 < x < 8$ следует, что $1/8 < 1/x < 1/3$.
Перемножим неравенства для $y$ и $1/x$:
$2 \cdot (1/8) < y/x < 7 \cdot (1/3)$
$1/4 < y/x < 7/3$.
Теперь умножим полученное неравенство на положительное число $6/5$:
$\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{4} < \frac{6y}{5x} < \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{3}$
$\frac{6}{20} < \frac{6y}{5x} < \frac{42}{15}$
Сократив дроби, получаем:
$\frac{3}{10} < \frac{6y}{5x} < \frac{14}{5}$ (или $0,3 < \frac{6y}{5x} < 2,8$)
Ответ: $3/10 < 6y/5x < 14/5$.

8) (0,6x – 0,1y)/(0,8x – 0,3y);
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на 10:
$\frac{0,6x - 0,1y}{0,8x - 0,3y} = \frac{10(0,6x - 0,1y)}{10(0,8x - 0,3y)} = \frac{6x - y}{8x - 3y}$
Оценим числитель $N = 6x-y$ и знаменатель $D = 8x-3y$ по отдельности.
Оценка числителя $N = 6x-y$:
$3 < x < 8 \implies 18 < 6x < 48$
$2 < y < 7 \implies -7 < -y < -2$
Складывая, получаем: $18 - 7 < 6x - y < 48 - 2 \implies 11 < N < 46$.
Оценка знаменателя $D = 8x-3y$:
$3 < x < 8 \implies 24 < 8x < 64$
$2 < y < 7 \implies 6 < 3y < 21 \implies -21 < -3y < -6$
Складывая, получаем: $24 - 21 < 8x - 3y < 64 - 6 \implies 3 < D < 58$.
Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, то для оценки дроби $N/D$ нужно наименьшее значение числителя разделить на наибольшее значение знаменателя (для нижней границы) и наибольшее значение числителя на наименьшее значение знаменателя (для верхней границы).
$\frac{N_{min}}{D_{max}} < \frac{N}{D} < \frac{N_{max}}{D_{min}}$
$\frac{11}{58} < \frac{6x - y}{8x - 3y} < \frac{46}{3}$
Ответ: $11/58 < (0,6x - 0,1y)/(0,8x - 0,3y) < 46/3$.