Номер 20, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{(x-2)^2} + 3 > 0;$

2) $\frac{x-2}{x-2} > 0;$

3) $\frac{x-2}{x-2} \ge 0;$

4) $\frac{x-2}{x-2} > \frac{1}{4};$

5) $\frac{x-2}{x-2} \le 1;$

6) $\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2 \ge 0;$

7) $\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x-3} > \frac{1}{x-3} + 2.$

1) Исходное неравенство: $\frac{1}{(x - 2)^2} + 3 > 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $(x - 2)^2 \neq 0$, что равносильно $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Теперь проанализируем левую часть неравенства. Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа. Для любого $x$ из ОДЗ (то есть при $x \neq 2$) это выражение будет строго положительным: $(x - 2)^2 > 0$.

Так как знаменатель $(x - 2)^2$ всегда положителен, то и дробь $\frac{1}{(x - 2)^2}$ также всегда будет строго положительной.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух положительных слагаемых: $\frac{1}{(x - 2)^2}$ (которое всегда больше нуля) и $3$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых оно определено.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

2) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} > 0$.

ОДЗ данного выражения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Для всех значений $x$ из ОДЗ (при $x \neq 2$) числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю. Поэтому дробь можно сократить, и она будет равна 1: $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$.

Таким образом, исходное неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 > 0$.

Это означает, что исходное неравенство верно для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

3) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} \ge 0$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Для всех $x \neq 2$ выражение в левой части равно 1. Неравенство принимает вид $1 \ge 0$.

Это неравенство является верным. Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

4) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} > \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

При всех $x \neq 2$ левая часть неравенства равна 1. Подставляя это значение, получаем: $1 > \frac{1}{4}$.

Это верное числовое неравенство. Значит, исходное неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

5) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} \le 1$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

При $x \neq 2$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$.

Это неравенство является верным (так как $1 = 1$). Следовательно, решение - все значения $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

6) Исходное неравенство: $(\frac{x - 3}{x - 4})^2 \ge 0$.

ОДЗ: знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x - 4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат некоторого действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Поэтому неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение в левой части определено.

Решением является вся область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$

7) Исходное неравенство: $(\frac{x - 3}{x - 4})^2 > 0$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Квадрат выражения является строго положительным тогда и только тогда, когда само выражение определено и не равно нулю.

Таким образом, мы должны потребовать, чтобы $\frac{x - 3}{x - 4} \neq 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, мы должны исключить из ОДЗ значение $x = 3$.

Объединяя условия $x \neq 4$ и $x \neq 3$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

8) Исходное неравенство: $x + \frac{1}{x - 3} > \frac{1}{x - 3} + 2$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

В левой и правой частях неравенства есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{x - 3}$. Мы можем вычесть его из обеих частей неравенства, так как это равносильное преобразование для всех $x$ из ОДЗ.

$x + \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} > \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} + 2$

После упрощения получаем простое линейное неравенство: $x > 2$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять системе условий: $\begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Это означает, что решением являются все числа, которые больше 2, за исключением числа 3.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$