Номер 26, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $x - 4 < 3x + 9;$

2) $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \le 20;$

3) $(2x - 3)^2 + (3 - 4x)(x + 5) \ge 82;$

4) $(x - 3)(x + 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1).$

1) $x - 4 < 3x + 9$

Для решения неравенства перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а числовые слагаемые — в другую.
$x - 3x < 9 + 4$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-2x < 13$
Разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{13}{-2}$
$x > -6.5$
Мы ищем наименьшее целое число, которое больше $-6.5$. Первое такое целое число — это $-6$.

Ответ: $-6$

2) $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \leq 20$

Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(3x - 2)$ и $(6x + 5)$:
$(3x - 2)(6x + 5) = 3x \cdot 6x + 3x \cdot 5 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 5 = 18x^2 + 15x - 12x - 10 = 18x^2 + 3x - 10$
Теперь подставим это выражение в исходное неравенство:
$18x^2 - (18x^2 + 3x - 10) \leq 20$
Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них:
$18x^2 - 18x^2 - 3x + 10 \leq 20$
Приведем подобные слагаемые:
$-3x + 10 \leq 20$
Перенесем $10$ в правую часть:
$-3x \leq 20 - 10$
$-3x \leq 10$
Разделим обе части на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \geq \frac{10}{-3}$
$x \geq -3\frac{1}{3}$
Наименьшее целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, — это $-3$.

Ответ: $-3$

3) $(2x - 3)^2 + (3 - 4x)(x + 5) \geq 82$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Сначала возведем в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
Затем перемножим два многочлена:
$(3 - 4x)(x + 5) = 3x + 15 - 4x^2 - 20x = -4x^2 - 17x + 15$
Подставим полученные выражения в неравенство:
$(4x^2 - 12x + 9) + (-4x^2 - 17x + 15) \geq 82$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 17x) + (9 + 15) \geq 82$
$-29x + 24 \geq 82$
Перенесем $24$ в правую часть:
$-29x \geq 82 - 24$
$-29x \geq 58$
Разделим обе части на $-29$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \leq \frac{58}{-29}$
$x \leq -2$
Решением неравенства являются все числа, меньшие или равные $-2$. Множество целых решений: $\{..., -5, -4, -3, -2\}$. Это множество не ограничено снизу, поэтому наименьшего целого решения в нем нет.

Ответ: наименьшего целого решения не существует.

4) $(x - 3)(x + 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1)$

Упростим обе части неравенства, раскрыв скобки.
В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$
В правой части раскроем квадрат разности и распределим множители:
$2(x - 2)^2 - x(x + 1) = 2(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x) = 2x^2 - 8x + 8 - x^2 - x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$(2x^2 - x^2) + (-8x - x) + 8 = x^2 - 9x + 8$
Неравенство принимает вид:
$x^2 - 9 > x^2 - 9x + 8$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 9 - x^2 + 9x - 8 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 9x + (-9 - 8) > 0$
$9x - 17 > 0$
Решим полученное линейное неравенство:
$9x > 17$
$x > \frac{17}{9}$
$x > 1\frac{8}{9}$
Наименьшее целое число, которое больше $1\frac{8}{9}$, — это $2$.

Ответ: $2$