Номер 25, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Решите неравенство:

1) $4(x-3) > x+6$;

2) $0,3(8-3y) \leq 3,2 - 0,8(y-7)$;

3) $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}\right) \geq 3x + 3\frac{1}{3}$;

4) $2x(2x+1) - 5(x^2 - 3x) < x(2 - x) + 3$;

5) $\frac{x-5}{4} - \frac{x+1}{3} > 2$;

6) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \leq 4$;

7) $\frac{5x-2}{4} - \frac{3-x}{5} > \frac{1-x}{10}$;

8) $(x+4)(x-2) - (x+5)(x+3) \leq -8x$;

9) $(3x+1)^2 - (x+2)(4x-1) > 5(x-1)^2 + 7x$;

10) $3x(5+12x) - (6x-1)(6x+1) \geq 10x$.

1) $4(x-3) > x + 6$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$4x - 12 > x + 6$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены - в правую:

$4x - x > 6 + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x > 18$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > 6$

Ответ: $(6; +\infty)$

2) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2,4 - 0,9y \le 3,2 - 0,8y + 5,6$

Упростим правую часть:

$2,4 - 0,9y \le 8,8 - 0,8y$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$-0,9y + 0,8y \le 8,8 - 2,4$

Приведем подобные слагаемые:

$-0,1y \le 6,4$

Разделим обе части на -0,1, изменив знак неравенства на противоположный:

$y \ge -64$

Ответ: $[-64; +\infty)$

3) $\frac{5}{6}(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}) \ge 3x + 3\frac{1}{3}$

Раскроем скобки в левой части и преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$\frac{5}{18}x - \frac{5}{30} \ge 3x + \frac{10}{3}$

$\frac{5}{18}x - \frac{1}{6} \ge 3x + \frac{10}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (18, 6, 3), то есть на 18:

$18 \cdot (\frac{5}{18}x) - 18 \cdot (\frac{1}{6}) \ge 18 \cdot (3x) + 18 \cdot (\frac{10}{3})$

$5x - 3 \ge 54x + 60$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$5x - 54x \ge 60 + 3$

$-49x \ge 63$

Разделим обе части на -49, изменив знак неравенства:

$x \le -\frac{63}{49}$

Сократим дробь:

$x \le -\frac{9}{7}$

Ответ: $(-\infty; -1\frac{2}{7}]$

4) $2x(2x + 1) - 5(x^2 - 3x) < x(2 - x) + 3$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$4x^2 + 2x - 5x^2 + 15x < 2x - x^2 + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 + 17x < 2x - x^2 + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сгруппировать их:

$-x^2 + 17x - 2x + x^2 - 3 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$15x - 3 < 0$

$15x < 3$

$x < \frac{3}{15}$

$x < \frac{1}{5}$

Ответ: $(-\infty; 0,2)$

5) $\frac{x-5}{4} - \frac{x+1}{3} > 2$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 12:

$12 \cdot \frac{x-5}{4} - 12 \cdot \frac{x+1}{3} > 12 \cdot 2$

$3(x-5) - 4(x+1) > 24$

Раскроем скобки:

$3x - 15 - 4x - 4 > 24$

Приведем подобные слагаемые:

$-x - 19 > 24$

$-x > 24 + 19$

$-x > 43$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x < -43$

Ответ: $(-\infty; -43)$

6) $\frac{x+4}{3} - \frac{x+2}{6} \le 4$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$6 \cdot \frac{x+4}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{6} \le 6 \cdot 4$

$2(x+4) - (x+2) \le 24$

Раскроем скобки:

$2x + 8 - x - 2 \le 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 6 \le 24$

$x \le 24 - 6$

$x \le 18$

Ответ: $(-\infty; 18]$

7) $\frac{5x-2}{4} - \frac{3-x}{5} > \frac{1-x}{10}$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 5, 10), то есть на 20:

$20 \cdot \frac{5x-2}{4} - 20 \cdot \frac{3-x}{5} > 20 \cdot \frac{1-x}{10}$

$5(5x-2) - 4(3-x) > 2(1-x)$

Раскроем скобки:

$25x - 10 - 12 + 4x > 2 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$29x - 22 > 2 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$29x + 2x > 2 + 22$

$31x > 24$

$x > \frac{24}{31}$

Ответ: $(\frac{24}{31}; +\infty)$

8) $(x+4)(x-2) - (x+5)(x+3) \le -8x$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(x^2 - 2x + 4x - 8) - (x^2 + 3x + 5x + 15) \le -8x$

$(x^2 + 2x - 8) - (x^2 + 8x + 15) \le -8x$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$x^2 + 2x - 8 - x^2 - 8x - 15 \le -8x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6x - 23 \le -8x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$-6x + 8x \le 23$

$2x \le 23$

$x \le \frac{23}{2}$

$x \le 11,5$

Ответ: $(-\infty; 11,5]$

9) $(3x+1)^2 - (x+2)(4x-1) > 5(x-1)^2 + 7x$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов:

$(9x^2 + 6x + 1) - (4x^2 - x + 8x - 2) > 5(x^2 - 2x + 1) + 7x$

$9x^2 + 6x + 1 - (4x^2 + 7x - 2) > 5x^2 - 10x + 5 + 7x$

$9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 - 7x + 2 > 5x^2 - 3x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$5x^2 - x + 3 > 5x^2 - 3x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x^2 - x + 3 - 5x^2 + 3x - 5 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x - 2 > 0$

$2x > 2$

$x > 1$

Ответ: $(1; +\infty)$

10) $3x(5 + 12x) - (6x - 1)(6x + 1) \ge 10x$

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$15x + 36x^2 - ((6x)^2 - 1^2) \ge 10x$

$15x + 36x^2 - (36x^2 - 1) \ge 10x$

$15x + 36x^2 - 36x^2 + 1 \ge 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$15x + 1 \ge 10x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы - в правую:

$15x - 10x \ge -1$

$5x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{5}$

Ответ: $[-0,2; +\infty)$