Номер 24, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Решите неравенство:

1) $2x > 10$;

2) $-4x \le 16$;

3) $\frac{1}{4}x > -3$;

4) $-0,2x \le -2$;

5) $3,9x > 0$;

6) $-6x \le 0$;

7) $2 \frac{3}{4}x \ge -3 \frac{2}{3}$;

8) $5x > 24 - x$;

9) $9x + 5 \le 31 - 4x$;

10) $7 - 4x < 6x - 23$;

11) $4,7 - 2,3x \le 1,2x - 9,3$;

12) $\frac{4}{9}x + 7 < \frac{1}{3}x + 2$.

1) Дано неравенство $2x > 10$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{10}{2}$
$x > 5$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2) Дано неравенство $-4x \le 16$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $).
$x \ge \frac{16}{-4}$
$x \ge -4$
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $\frac{1}{4}x > -3$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 4. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > -3 \cdot 4$
$x > -12$
Ответ: $x \in (-12; +\infty)$.

4) Дано неравенство $-0,2x \le -2$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -0,2. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $).
$x \ge \frac{-2}{-0,2}$
$x \ge 10$
Ответ: $x \in [10; +\infty)$.

5) Дано неравенство $3,9x > 0$.
Разделим обе части неравенства на 3,9. Знак неравенства не меняется.
$x > \frac{0}{3,9}$
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

6) Дано неравенство $-6x \le 0$.
Разделим обе части неравенства на -6. Знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{0}{-6}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

7) Дано неравенство $2\frac{3}{4}x \ge -3\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные.
$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
$-3\frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{11}{3}$
Получаем неравенство: $\frac{11}{4}x \ge -\frac{11}{3}$.
Разделим обе части на $\frac{11}{4}$ (что равносильно умножению на $\frac{4}{11}$). Знак неравенства не меняется.
$x \ge -\frac{11}{3} \cdot \frac{4}{11}$
$x \ge -\frac{4}{3}$
Ответ: $x \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$.

8) Дано неравенство $5x > 24 - x$.
Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив его знак.
$5x + x > 24$
$6x > 24$
Разделим обе части на 6.
$x > \frac{24}{6}$
$x > 4$
Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

9) Дано неравенство $9x + 5 \le 31 - 4x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую.
$9x + 4x \le 31 - 5$
$13x \le 26$
Разделим обе части на 13.
$x \le \frac{26}{13}$
$x \le 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

10) Дано неравенство $7 - 4x < 6x - 23$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую.
$7 + 23 < 6x + 4x$
$30 < 10x$
Разделим обе части на 10.
$3 < x$ или $x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

11) Дано неравенство $4,7 - 2,3x \le 1,2x - 9,3$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую.
$4,7 + 9,3 \le 1,2x + 2,3x$
$14 \le 3,5x$
Разделим обе части на 3,5.
$\frac{14}{3,5} \le x$
$4 \le x$ или $x \ge 4$
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

12) Дано неравенство $\frac{4}{9}x + 7 < \frac{1}{3}x + 2$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 9.
$9 \cdot (\frac{4}{9}x + 7) < 9 \cdot (\frac{1}{3}x + 2)$
$4x + 63 < 3x + 18$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую.
$4x - 3x < 18 - 63$
$x < -45$
Ответ: $x \in (-\infty; -45)$.