Номер 18, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Какие из чисел $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$ являются решениями неравенства:

1) $x \ge \frac{1}{2}$;

2) $x < 12$;

3) $3x > x + 5$;

4) $x^2 - 36 < 0$;

5) $\sqrt{x - 1} \ge 2$;

6) $\frac{1}{x} \ge 1$?

Для того чтобы определить, какие из чисел $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$ являются решениями неравенств, необходимо подставить каждое число вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, выполняется ли оно.

1) $x \geq \frac{1}{2}$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $-7 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $5 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $-1 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Ответ: $5; \frac{1}{2}$.

2) $x < 12$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $-7 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = 5$: $5 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $-1 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0 < 12$. Неравенство истинно.

Ответ: $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$.

3) $3x > x + 5$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $3(-7) > -7 + 5 \Rightarrow -21 > -2$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $3(5) > 5 + 5 \Rightarrow 15 > 10$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $3(-1) > -1 + 5 \Rightarrow -3 > 4$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $3(\frac{1}{2}) > \frac{1}{2} + 5 \Rightarrow \frac{3}{2} > \frac{11}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = 0$: $3(0) > 0 + 5 \Rightarrow 0 > 5$. Неравенство ложно.

Ответ: $5$.

4) $x^2 - 36 < 0$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $(-7)^2 - 36 < 0 \Rightarrow 49 - 36 < 0 \Rightarrow 13 < 0$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $5^2 - 36 < 0 \Rightarrow 25 - 36 < 0 \Rightarrow -11 < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $(-1)^2 - 36 < 0 \Rightarrow 1 - 36 < 0 \Rightarrow -35 < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^2 - 36 < 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - 36 < 0 \Rightarrow -35\frac{3}{4} < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0^2 - 36 < 0 \Rightarrow -36 < 0$. Неравенство истинно.

Ответ: $5; -1; \frac{1}{2}; 0$.

5) $\sqrt{x-1} \geq 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x-1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$. Числа $-7, -1, \frac{1}{2}, 0$ не входят в ОДЗ, поэтому они не могут быть решениями. Проверим единственное подходящее число $x=5$.

Для $x = 5$: $\sqrt{5-1} \geq 2 \Rightarrow \sqrt{4} \geq 2 \Rightarrow 2 \geq 2$. Неравенство истинно.

Ответ: $5$.

6) $\frac{1}{x} \geq 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x \neq 0$. Значит, $x=0$ не является решением. Проверим остальные числа:

Для $x = -7$: $\frac{1}{-7} \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $\frac{1}{5} \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = -1$: $\frac{1}{-1} \geq 1 \Rightarrow -1 \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{1/2} \geq 1 \Rightarrow 2 \geq 1$. Неравенство истинно.

Ответ: $\frac{1}{2}$.