Номер 13, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Известно, что $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Оцените значение выражения:

1) $4\sqrt{6}$;

2) $-5\sqrt{6}$;

3) $7 - \sqrt{6}$;

4) $\frac{7 - \sqrt{6}}{3}$.

1) $4\sqrt{6}$;

Для того чтобы оценить значение выражения $4\sqrt{6}$, воспользуемся исходным неравенством $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Умножим все части этого двойного неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$2,4 \cdot 4 < \sqrt{6} \cdot 4 < 2,5 \cdot 4$

Выполним вычисления:

$9,6 < 4\sqrt{6} < 10$

Ответ: $9,6 < 4\sqrt{6} < 10$.

2) $-5\sqrt{6}$;

Для оценки значения выражения $-5\sqrt{6}$ снова используем неравенство $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Умножим все части неравенства на -5. Так как -5 — отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные.

$2,4 \cdot (-5) > \sqrt{6} \cdot (-5) > 2,5 \cdot (-5)$

Выполним вычисления:

$-12 > -5\sqrt{6} > -12,5$

Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-12,5 < -5\sqrt{6} < -12$

Ответ: $-12,5 < -5\sqrt{6} < -12$.

3) $7 - \sqrt{6}$;

Чтобы оценить значение выражения $7 - \sqrt{6}$, начнем с оценки выражения $-\sqrt{6}$. Для этого умножим все части исходного неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ на -1. Знаки неравенства изменятся на противоположные.

$-2,4 > -\sqrt{6} > -2,5$

Запишем в стандартном виде:

$-2,5 < -\sqrt{6} < -2,4$

Теперь прибавим число 7 ко всем частям полученного неравенства:

$7 - 2,5 < 7 - \sqrt{6} < 7 - 2,4$

Выполним вычисления:

$4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$

Ответ: $4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$.

4) $\frac{7 - \sqrt{6}}{3}$.

Для оценки этого выражения воспользуемся результатом, полученным в предыдущем пункте: $4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$.

Теперь разделим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{4,5}{3} < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{4,6}{3}$

Выполним вычисления:

$1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{46}{30}$

Правую часть можно представить в виде несократимой дроби, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{46}{30} = \frac{23}{15}$

Окончательный результат:

$1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{23}{15}$

Ответ: $1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{23}{15}$.