Номер 8, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Известно, что $n < m$. Сравните:

1) $n - 5$ и $m$;

2) $m + 6$ и $n$;

3) $-n + 4$ и $-m + 4$;

4) $n + 3$ и $m - 2$.

1)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $n - 5$ и $m$. Так как из числа $n$ вычитается положительное число 5, то результат будет меньше, чем $n$. То есть, $n - 5 < n$. Поскольку нам известно, что $n < m$, мы можем объединить эти два неравенства в одно, используя свойство транзитивности: $n - 5 < n < m$. Из этого следует, что $n - 5 < m$.
Ответ: $n - 5 < m$.

2)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $m + 6$ и $n$. Так как к числу $m$ прибавляется положительное число 6, то результат будет больше, чем $m$. То есть, $m < m + 6$. Поскольку нам известно, что $n < m$, мы можем объединить эти два неравенства в одно, используя свойство транзитивности: $n < m < m + 6$. Из этого следует, что $n < m + 6$.
Ответ: $m + 6 > n$.

3)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $-n + 4$ и $-m + 4$. Сначала умножим обе части исходного неравенства на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$n \cdot (-1) > m \cdot (-1)$
$-n > -m$.
Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 4. Знак неравенства при этом не изменится:
$-n + 4 > -m + 4$.
Ответ: $-n + 4 > -m + 4$.

4)

Дано неравенство $n < m$. Нужно сравнить $n + 3$ и $m - 2$. Рассмотрим разность этих двух выражений: $(m - 2) - (n + 3) = m - 2 - n - 3 = (m - n) - 5$. Из условия $n < m$ следует, что разность $m - n$ является положительным числом ($m - n > 0$). Однако результат всего выражения $(m - n) - 5$ зависит от величины разности $m - n$:
- Если разность $m - n$ больше 5, то $(m - n) - 5 > 0$, и следовательно $m - 2 > n + 3$. (Пример: $n=1, m=7$. Тогда $m-n = 6 > 5$. $n+3=4$, $m-2=5$. Итог: $4 < 5$.)
- Если разность $m - n$ равна 5, то $(m - n) - 5 = 0$, и следовательно $m - 2 = n + 3$. (Пример: $n=1, m=6$. Тогда $m-n = 5$. $n+3=4$, $m-2=4$. Итог: $4 = 4$.)
- Если разность $m - n$ меньше 5 (но больше 0), то $(m - n) - 5 < 0$, и следовательно $m - 2 < n + 3$. (Пример: $n=1, m=3$. Тогда $m-n = 2 < 5$. $n+3=4$, $m-2=1$. Итог: $4 > 1$.)
Так как возможны все три варианта сравнения ($<, =, >$), то на основе одного лишь условия $n < m$ дать однозначный ответ невозможно.
Ответ: Сравнить невозможно.