Номер 4, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 8a + 17 > 0;$

2) $6y - 9y^2 - 4 < 0;$

3) $a(a - 10) > 4(a - 13);$

4) $x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 \ge 0;$

5) $x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 > 0;$

6) $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 6}} \ge 2.$

1) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат: $a^2 - 8a + 17 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 - 4^2 + 17 = (a^2 - 8a + 16) + 1 = (a - 4)^2 + 1$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, $(a - 4)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Поскольку $1 > 0$, то и исходное выражение $a^2 - 8a + 17$ всегда больше нуля для любого значения $a$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

2) Преобразуем левую часть неравенства $6y - 9y^2 - 4 < 0$. Вынесем знак минус за скобки: $-(9y^2 - 6y + 4) < 0$. Теперь выделим полный квадрат в скобках: $9y^2 - 6y + 4 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 4 = ((3y)^2 - 6y + 1) + 3 = (3y - 1)^2 + 3$. Таким образом, исходное выражение равно $ -((3y - 1)^2 + 3) = -(3y - 1)^2 - 3$. Так как $(3y - 1)^2 \ge 0$, то $-(3y - 1)^2 \le 0$. Следовательно, $-(3y - 1)^2 - 3 \le 0 - 3 = -3$. Поскольку $-3 < 0$, то и исходное выражение $6y - 9y^2 - 4$ всегда строго меньше нуля для любого значения $y$. Ответ: Неравенство доказано.

3) Раскроем скобки в обеих частях неравенства $a(a - 10) > 4(a - 13)$ и перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 10a > 4a - 52$ $a^2 - 10a - 4a + 52 > 0$ $a^2 - 14a + 52 > 0$ Выделим полный квадрат в левой части полученного неравенства: $a^2 - 14a + 52 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 7 + 49) - 49 + 52 = (a - 7)^2 + 3$. Так как $(a - 7)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a - 7)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Поскольку $3 > 0$, то неравенство $a^2 - 14a + 52 > 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство. Ответ: Неравенство доказано.

4) Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства и выделим полные квадраты для каждой переменной: $x^2 + 9y^2 + 2x + 6y + 2 = (x^2 + 2x) + (9y^2 + 6y) + 2$. Для первой скобки: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$. Для второй скобки: $9y^2 + 6y = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (3y + 1)^2 - 1$. Подставим полученные выражения обратно в исходное: $((x + 1)^2 - 1) + ((3y + 1)^2 - 1) + 2 = (x + 1)^2 + (3y + 1)^2$. Сумма квадратов двух действительных чисел всегда неотрицательна: $(x + 1)^2 \ge 0$ и $(3y + 1)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма $(x + 1)^2 + (3y + 1)^2 \ge 0$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

5) Представим левую часть неравенства в виде суммы квадратов. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$: $x^2 - 6xy + 10y^2 - 4y + 7 = (x^2 - 6xy + 9y^2) + y^2 - 4y + 7$. Первые три слагаемых образуют полный квадрат: $(x - 3y)^2$. Выражение принимает вид: $(x - 3y)^2 + y^2 - 4y + 7$. Теперь выделим полный квадрат в оставшейся части с переменной $y$: $y^2 - 4y + 7 = (y^2 - 4y + 4) + 3 = (y - 2)^2 + 3$. Таким образом, исходное выражение равно $(x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3$. Так как $(x - 3y)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$, их сумма неотрицательна. Тогда $(x - 3y)^2 + (y - 2)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Поскольку $3 > 0$, то и исходное выражение всегда строго больше нуля. Ответ: Неравенство доказано.

6) Определим область допустимых значений. Выражение под корнем $x^2 + 6$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$. Поэтому знаменатель $\sqrt{x^2 + 6}$ всегда определен и положителен. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x^2 + 6}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 6 \ge 6$, и, следовательно, $t \ge \sqrt{6}$. Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 6$, откуда $x^2 = t^2 - 6$. Подставим это в числитель исходного выражения: $x^2 + 7 = (t^2 - 6) + 7 = t^2 + 1$. Неравенство принимает вид $\frac{t^2+1}{t} \ge 2$. Так как $t \ge \sqrt{6}$, то $t > 0$. Мы можем умножить обе части на $t$, не меняя знака неравенства: $t^2 + 1 \ge 2t$. Перенесем все в левую часть: $t^2 - 2t + 1 \ge 0$. Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(t - 1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного значения $t$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Поскольку $t$ всегда является действительным числом при любом $x$, исходное неравенство также верно. Ответ: Неравенство доказано.