Номер 242, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен $-24$, а сумма равна $-16$.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S$ — её сумма.

По условию задачи даны:
первый член $b_1 = -24$;
сумма прогрессии $S = -16$.

Необходимо найти пятый член прогрессии, который обозначается как $b_5$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии q

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Это равенство справедливо при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.
Подставим известные значения $S$ и $b_1$ в формулу: $$-16 = \frac{-24}{1 - q}$$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $q$. Сначала выразим $(1 - q)$: $$1 - q = \frac{-24}{-16}$$ $$1 - q = \frac{3}{2}$$

Теперь найдём $q$: $$q = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$

Проверим, выполняется ли условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется.

2. Нахождение пятого члена прогрессии b₅

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения пятого члена ($n=5$) подставим в эту формулу найденные значения $b_1 = -24$ и $q = -\frac{1}{2}$: $$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$$ $$b_5 = -24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4$$

Проведем вычисления: $$b_5 = -24 \cdot \frac{(-1)^4}{2^4} = -24 \cdot \frac{1}{16} = -\frac{24}{16}$$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8: $$b_5 = -\frac{24 \div 8}{16 \div 8} = -\frac{3}{2}$$ В виде десятичной дроби это значение равно $-1.5$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$