Номер 235, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $ \frac{1}{5} $, а сумма четырёх первых членов равна 156.

Пусть $b_1$ — искомый первый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам дано:

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{5}$.

Сумма первых четырёх членов $S_4 = 156$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в эту формулу известные нам значения $n=4$, $q = \frac{1}{5}$ и $S_4 = 156$:

$156 = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $b_1$.

1. Вычислим значение знаменателя дроби:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. Вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - (\frac{1}{5})^4 = 1 - \frac{1^4}{5^4} = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

3. Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$156 = \frac{b_1 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}}$

4. Упростим правую часть уравнения:

$\frac{b_1 \cdot \frac{624}{625}}{\frac{4}{5}} = b_1 \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} = b_1 \cdot \frac{624 \cdot 5}{625 \cdot 4}$

Сократим дробь:

$b_1 \cdot \frac{156 \cdot 4 \cdot 5}{125 \cdot 5 \cdot 4} = b_1 \cdot \frac{156}{125}$

5. Теперь уравнение выглядит так:

$156 = b_1 \cdot \frac{156}{125}$

6. Выразим $b_1$:

$b_1 = 156 \div \frac{156}{125} = 156 \cdot \frac{125}{156} = 125$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 125.

Ответ: 125