Номер 232, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 162, 108, 72, . . .

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам необходимо определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из условия задачи видно, что первый член прогрессии $b_1 = 162$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{108}{162}$

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 108 и 162 равен 54.

$q = \frac{108 \div 54}{162 \div 54} = \frac{2}{3}$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n = 5$. Подставим известные значения в формулу:

$S_5 = \frac{162 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^5)}{1 - \frac{2}{3}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{162 \cdot (1 - \frac{32}{243})}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{162 \cdot (\frac{243-32}{243})}{\frac{1}{3}} = \frac{162 \cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Для упрощения выражения, умножим числитель на перевернутый знаменатель (то есть на 3):

$S_5 = 162 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3$

Сократим 243 и 3:

$S_5 = 162 \cdot \frac{211}{81}$

Теперь сократим 162 и 81 (так как $162 = 2 \cdot 81$):

$S_5 = 2 \cdot 211 = 422$

Ответ: 422