Номер 227, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_{10} = 9b_8$ и $b_3 + b_6 = 168$;

2) $b_2 + b_5 = 56$ и $b_3 - b_4 + b_5 = 14$.

1)

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Используем первое условие $b_{10} = 9b_8$:

$b_1 q^{10-1} = 9 \cdot b_1 q^{8-1}$

$b_1 q^9 = 9 b_1 q^7$

Так как по условию существуют члены прогрессии с номерами 3, 6, 8, 10, то прогрессия не является тривиальной, а значит $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 q^7$:

$q^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = 3$ и $q_2 = -3$.

Теперь используем второе условие $b_3 + b_6 = 168$:

$b_1 q^{3-1} + b_1 q^{6-1} = 168$

$b_1 q^2 + b_1 q^5 = 168$

$b_1(q^2 + q^5) = 168$

Рассмотрим каждый из двух возможных случаев для $q$.

Случай 1: $q = 3$

Подставим значение $q=3$ в полученное уравнение:

$b_1(3^2 + 3^5) = 168$

$b_1(9 + 243) = 168$

$252 b_1 = 168$

$b_1 = \frac{168}{252} = \frac{2 \cdot 84}{3 \cdot 84} = \frac{2}{3}$

Случай 2: $q = -3$

Подставим значение $q=-3$ в то же уравнение:

$b_1((-3)^2 + (-3)^5) = 168$

$b_1(9 - 243) = 168$

$b_1(-234) = 168$

$b_1 = -\frac{168}{234} = -\frac{28 \cdot 6}{39 \cdot 6} = -\frac{28}{39}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = 2/3, q = 3$ или $b_1 = -28/39, q = -3$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} b_2 + b_5 = 56 \\ b_3 - b_4 + b_5 = 14 \end{cases}$

Используя формулу $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, выразив члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1q + b_1q^4 = 56 \\ b_1q^2 - b_1q^3 + b_1q^4 = 14 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1q(1 + q^3) = 56 \\ b_1q^2(1 - q + q^2) = 14 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, то $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{b_1q(1 + q^3)}{b_1q^2(1 - q + q^2)} = \frac{56}{14}$

Сократим дробь и упростим правую часть:

$\frac{1 + q^3}{q(1 - q + q^2)} = 4$

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению в числителе:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1-q+q^2)} = 4$

Выражение $1-q+q^2$ не равно нулю ни при каких действительных значениях $q$ (дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен), поэтому на него можно сократить:

$\frac{1+q}{q} = 4$

Решим полученное уравнение:

$1+q = 4q$

$3q = 1$

$q = \frac{1}{3}$

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q$ во второе уравнение системы $b_1q^2(1 - q + q^2) = 14$:

$b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \left(\frac{9-3+1}{9}\right) = 14$

$b_1 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{7}{9} = 14$

$b_1 \cdot \frac{7}{81} = 14$

$b_1 = \frac{14 \cdot 81}{7} = 2 \cdot 81 = 162$

Ответ: $b_1 = 162, q = 1/3$.