Номер 229, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. При каком значении $x$ значения выражений $2x + 1$, $x + 2$ и $8 - x$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три выражения $2x + 1$, $x + 2$ и $8 - x$ были последовательными членами геометрической прогрессии (обозначим их как $b_1, b_2, b_3$), должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это равенство:

$(x + 2)^2 = (2x + 1)(8 - x)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 16x - 2x^2 + 8 - x$

$x^2 + 4x + 4 = -2x^2 + 15x + 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x^2 + 4x - 15x + 4 - 8 = 0$

$3x^2 - 11x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Мы получили два возможных значения $x$. Теперь для каждого из них найдем соответствующие члены прогрессии.

При $x = 4$

Подставим значение $x = 4$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:
Первый член: $b_1 = 2(4) + 1 = 9$.
Второй член: $b_2 = 4 + 2 = 6$.
Третий член: $b_3 = 8 - 4 = 4$.
Таким образом, при $x=4$ получаем геометрическую прогрессию 9, 6, 4 со знаменателем $q = 2/3$.

При $x = -\frac{1}{3}$

Подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ в исходные выражения:
Первый член: $b_1 = 2(-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.
Второй член: $b_2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$.
Третий член: $b_3 = 8 - (-\frac{1}{3}) = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$.
Таким образом, при $x = -\frac{1}{3}$ получаем геометрическую прогрессию $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{25}{3}$ со знаменателем $q=5$.

Ответ: Задача имеет два решения: при $x = 4$ члены прогрессии равны 9, 6, 4; при $x = -\frac{1}{3}$ члены прогрессии равны $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{25}{3}$.