Номер 226, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$, заданная формулой $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему члену постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$).

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности: $\frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Выразим $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = 4 \cdot 3^{(n+1)-1} = 4 \cdot 3^n$.

Теперь вычислим отношение:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4 \cdot 3^n}{4 \cdot 3^{n-1}}$.
Сократим общий множитель 4:
$q = \frac{3^n}{3^{n-1}}$.
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:
$q = 3^{n - (n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3$.

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 3 и не зависит от номера члена $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$b_1 = 4 \cdot 3^{1-1} = 4 \cdot 3^0$.
Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то:
$b_1 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: Да, последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = 4$, а знаменатель $q = 3$.