Номер 224, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите первый член геометрической прогрессии ($x_n$), знаменатель которой равен $q$, если:

1) $x_7 = \frac{3}{16}$, $q = \frac{1}{2}$;

2) $x_3 = 6$, $x_6 = 162$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии ($x_n$):

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$,

где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) По условию дано: $x_7 = \frac{3}{16}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Наша задача — найти $x_1$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена для $n=7$:

$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = x_1 \cdot q^6$

$\frac{3}{16} = x_1 \cdot (\frac{1}{2})^6$

Сначала вычислим значение $(\frac{1}{2})^6$:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$\frac{3}{16} = x_1 \cdot \frac{1}{64}$

Чтобы найти $x_1$, умножим обе части уравнения на 64:

$x_1 = \frac{3}{16} \cdot 64$

Сократим 64 и 16:

$x_1 = 3 \cdot \frac{64}{16} = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $12$

2) По условию дано: $x_3 = 6$ и $x_6 = 162$.

В этом случае нам неизвестны ни первый член $x_1$, ни знаменатель $q$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Запишем выражения для $x_3$ и $x_6$ с помощью общей формулы:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2$

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5$

Таким образом, мы имеем два уравнения:

1) $x_1 \cdot q^2 = 6$

2) $x_1 \cdot q^5 = 162$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить $x_1$ и найти $q$:

$\frac{x_1 \cdot q^5}{x_1 \cdot q^2} = \frac{162}{6}$

После сокращения $x_1$ и упрощения степеней $q$ получаем:

$q^{5-2} = 27$

$q^3 = 27$

Отсюда находим $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь, зная, что $q=3$, найдем $x_1$ из первого уравнения: $x_1 \cdot q^2 = 6$.

Подставим значение $q$:

$x_1 \cdot 3^2 = 6$

$x_1 \cdot 9 = 6$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{6}{9}$

Сократим дробь на 3:

$x_1 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$