Номер 218, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма семи первых её членов равна 94,5, а сумма пятнадцати первых членов равна 112,5.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а разность прогрессии как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Из условия задачи известно, что сумма семи первых членов равна 94,5. Запишем это с помощью формулы, подставив $n=7$ и $S_7=94,5$:

$S_7 = \frac{2a_1 + d(7-1)}{2} \cdot 7 = 94,5$

Упростим полученное выражение:

$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 94,5$

$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 94,5$

$a_1 + 3d = \frac{94,5}{7}$

$a_1 + 3d = 13,5$

Это первое уравнение системы.

Также из условия известно, что сумма пятнадцати первых членов равна 112,5. Запишем это с помощью формулы, подставив $n=15$ и $S_{15}=112,5$:

$S_{15} = \frac{2a_1 + d(15-1)}{2} \cdot 15 = 112,5$

Упростим это выражение:

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = 112,5$

$(a_1 + 7d) \cdot 15 = 112,5$

$a_1 + 7d = \frac{112,5}{15}$

$a_1 + 7d = 7,5$

Это второе уравнение системы.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 3d = 13,5 \\ a_1 + 7d = 7,5 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти значение $d$:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 7,5 - 13,5$

$4d = -6$

$d = \frac{-6}{4} = -1,5$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 3(-1,5) = 13,5$

$a_1 - 4,5 = 13,5$

$a_1 = 13,5 + 4,5$

$a_1 = 18$

Таким образом, мы нашли, что первый член арифметической прогрессии равен 18, а ее разность равна -1,5.

Ответ: первый член равен 18, разность равна -1,5.