Номер 222, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии $\frac{1}{256}$, $-\frac{1}{128}$, $\frac{1}{64}$, ....

Знаменатель прогрессии

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первые члены которой: $b_1 = \frac{1}{256}$, $b_2 = -\frac{1}{128}$, $b_3 = \frac{1}{64}$, ...
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий.
Найдем знаменатель, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/128}{1/256} = -\frac{1}{128} \cdot \frac{256}{1} = -\frac{256}{128} = -2$.
Для проверки можно разделить третий член на второй:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/64}{-1/128} = \frac{1}{64} \cdot (-\frac{128}{1}) = -\frac{128}{64} = -2$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен -2.
Ответ: знаменатель равен -2.

Пятый член прогрессии

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам необходимо найти пятый член прогрессии, т.е. $b_5$. Для этого подставим в формулу известные значения: $n=5$, $b_1 = \frac{1}{256}$ и $q = -2$.
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = \frac{1}{256} \cdot (-2)^4$
Сначала вычислим степень:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Теперь подставим это значение обратно в формулу:
$b_5 = \frac{1}{256} \cdot 16 = \frac{16}{256}$.
Сократим полученную дробь. Поскольку $256 = 16 \cdot 16$, получаем:
$b_5 = \frac{16}{16 \cdot 16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: пятый член равен $\frac{1}{16}$.