Номер 228, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть $(b_n)$ – искомая геометрическая прогрессия. По условию, ее первый член $b_1 = 16$. Между числами 16 и 81 нужно вставить три числа, которые будут являться вторым, третьим и четвертым членами прогрессии ($b_2$, $b_3$, $b_4$). Тогда число 81 будет пятым членом прогрессии, то есть $b_5 = 81$. Всего в прогрессии 5 членов.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения для $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$81 = 16 \cdot q^4$

Выразим $q^4$ из этого уравнения:

$q^4 = \frac{81}{16}$

Данное уравнение имеет два действительных корня для $q$:

$q = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$

$q = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = \frac{3}{2}$

Найдем три искомых числа, последовательно умножая каждый член прогрессии на знаменатель $q$, начиная с $b_1$.

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$

$b_3 = b_2 \cdot q = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$

Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot \frac{3}{2} = 81$. Верно.

Таким образом, первый набор чисел: 24, 36, 54.

Случай 2: $q = -\frac{3}{2}$

Найдем три искомых числа для этого значения знаменателя.

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot (-\frac{3}{2}) = -24$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-24) \cdot (-\frac{3}{2}) = 36$

$b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot (-\frac{3}{2}) = -54$

Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = (-54) \cdot (-\frac{3}{2}) = 81$. Верно.

Таким образом, второй набор чисел: -24, 36, -54.

Ответ: 24, 36, 54 или -24, 36, -54.