Номер 233, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) со знаменателем $q$, если:

1) $b_4 = 125, q = 2,5$;

2) $b_1 = \sqrt{5}, b_5 = 25\sqrt{5}, q < 0$;

3) $b_4 = 10, b_7 = 10000$.

Для нахождения суммы первых четырех членов геометрической прогрессии $S_4$ воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и, при необходимости, формулой суммы первых n членов $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. В данной задаче проще всего найти первые четыре члена и сложить их.

1) $b_4 = 125, q = 2,5$;

Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Из формулы n-го члена имеем: $b_4 = b_1 \cdot q^{3}$.

Подставим известные значения: $125 = b_1 \cdot (2,5)^3$.

Так как $2,5 = \frac{5}{2}$, то $(2,5)^3 = (\frac{5}{2})^3 = \frac{125}{8}$.

Уравнение принимает вид: $125 = b_1 \cdot \frac{125}{8}$.

Отсюда находим, что $b_1 = 8$.

Теперь вычислим первые четыре члена прогрессии:

$b_1 = 8$

$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot 2,5 = 20$

$b_3 = b_2 \cdot q = 20 \cdot 2,5 = 50$

$b_4 = b_3 \cdot q = 50 \cdot 2,5 = 125$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 8 + 20 + 50 + 125 = 203$.

Ответ: 203.

2) $b_1 = \sqrt{5}, b_5 = 25\sqrt{5}, q < 0$;

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{4}$.

Подставим известные значения: $25\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot q^4$.

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{5}$, получим $q^4 = 25$.

Действительными корнями этого уравнения являются $q = \sqrt[4]{25} = \sqrt{5}$ и $q = -\sqrt[4]{25} = -\sqrt{5}$. Согласно условию задачи $q < 0$, следовательно, мы выбираем $q = -\sqrt{5}$.

Теперь найдем сумму первых четырех членов, вычислив их поочередно:

$b_1 = \sqrt{5}$

$b_2 = b_1 \cdot q = \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -5$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-5) \cdot (-\sqrt{5}) = 5\sqrt{5}$

$b_4 = b_3 \cdot q = 5\sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -25$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = \sqrt{5} - 5 + 5\sqrt{5} - 25 = 6\sqrt{5} - 30$.

Ответ: $6\sqrt{5} - 30$.

3) $b_4 = 10, b_7 = 10 000$.

Найдем знаменатель $q$, используя соотношение $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. В нашем случае: $b_7 = b_4 \cdot q^{7-4} = b_4 \cdot q^3$.

Подставим известные значения: $10 000 = 10 \cdot q^3$.

Отсюда $q^3 = \frac{10000}{10} = 1000$, значит $q = \sqrt[3]{1000} = 10$.

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$.

$10 = b_1 \cdot 10^3$, или $10 = b_1 \cdot 1000$.

Отсюда $b_1 = \frac{10}{1000} = 0,01$.

Вычислим первые четыре члена прогрессии и их сумму:

$b_1 = 0,01$

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,01 \cdot 10 = 0,1$

$b_3 = b_2 \cdot q = 0,1 \cdot 10 = 1$

$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 10 = 10$

Сумма первых четырех членов: $S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 0,01 + 0,1 + 1 + 10 = 11,11$.

Ответ: 11,11.