Номер 239, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 36, 20, $11\frac{1}{9}$, ...;

2) 21, $3\sqrt{7}$, 3, ... .

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – ее знаменатель. Формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии $36, 20, 11\frac{1}{9}, \dots$ первый член $b_1 = 36$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{5}{9}| = \frac{5}{9}$.

Поскольку $\frac{5}{9} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{36}{1 - \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{9}{9} - \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{4}{9}} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 81.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $|q| < 1$.

В прогрессии $21, 3\sqrt{7}, 3, \dots$ первый член $b_1 = 21$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Проверим условие сходимости прогрессии:

$|q| = |\frac{\sqrt{7}}{7}| = \frac{\sqrt{7}}{7}$. Так как $7 < 49$, то $\sqrt{7} < \sqrt{49}=7$, а значит $\frac{\sqrt{7}}{7} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, сумма существует.

Вычислим сумму:

$S = \frac{21}{1 - \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 - \sqrt{7}}{7}} = \frac{21 \cdot 7}{7 - \sqrt{7}} = \frac{147}{7 - \sqrt{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $7 + \sqrt{7}$:

$S = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{(7 - \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{7^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{49 - 7} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{42}$.

Сократим дробь $\frac{147}{42}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 21:

$\frac{147}{42} = \frac{21 \cdot 7}{21 \cdot 2} = \frac{7}{2}$.

Тогда сумма равна:

$S = \frac{7}{2}(7 + \sqrt{7}) = \frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.