Страница 38 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна 1200, а разность пятого и четвёртого членов равна 1000. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи даны две разности:

$ \begin{cases} b_5 - b_3 = 1200 \\ b_5 - b_4 = 1000 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1q^4 - b_1q^2 = 1200 \\ b_1q^4 - b_1q^3 = 1000 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} b_1q^2(q^2 - 1) = 1200 \\ b_1q^3(q - 1) = 1000 \end{cases} $

В первом уравнении используем формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:

$ \begin{cases} b_1q^2(q - 1)(q + 1) = 1200 \quad (1) \\ b_1q^3(q - 1) = 1000 \quad (2) \end{cases} $

Чтобы найти $q$, разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это возможно, так как из условия $b_5-b_4=1000 \neq 0$ следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$.

$ \frac{b_1q^2(q - 1)(q + 1)}{b_1q^3(q - 1)} = \frac{1200}{1000} $

После сокращения дробей получаем:

$ \frac{q + 1}{q} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} $

Решим это уравнение:

$5(q + 1) = 6q$
$5q + 5 = 6q$
$q = 5$

Теперь, зная знаменатель $q=5$, найдем первый член $b_1$. Подставим значение $q$ во второе уравнение системы:

$b_1 \cdot 5^3(5 - 1) = 1000$
$b_1 \cdot 125 \cdot 4 = 1000$
$500 b_1 = 1000$
$b_1 = \frac{1000}{500} = 2$

Теперь нам нужно найти сумму пяти первых членов прогрессии ($S_5$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1} $

Подставим известные значения $b_1=2$, $q=5$ и $n=5$:

$ S_5 = \frac{2(5^5 - 1)}{5 - 1} = \frac{2(3125 - 1)}{4} = \frac{2 \cdot 3124}{4} = \frac{6248}{4} = 1562 $

Ответ: 1562

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии ($c_n$), если $c_6 - c_4 = 135$, $c_6 - c_5 = 81$, а сумма всех членов $S_n = 665$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и формулой суммы ее первых n членов $S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Знаменатель

Запишем данные условия в виде системы уравнений, выразив члены прогрессии через первый член $c_1$ и знаменатель $q$:

$\begin{cases} c_6 - c_4 = c_1q^5 - c_1q^3 = c_1q^3(q^2 - 1) = 135 \\ c_6 - c_5 = c_1q^5 - c_1q^4 = c_1q^4(q - 1) = 81 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Для этого в первом уравнении разложим выражение $q^2 - 1$ на множители $(q-1)(q+1)$:

$\frac{c_1q^3(q - 1)(q + 1)}{c_1q^4(q - 1)} = \frac{135}{81}$

После сокращения одинаковых множителей в левой части и дроби в правой части (на 27) получим:

$\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{3}$

Решим полученное уравнение методом пропорции:

$3(q + 1) = 5q$

$3q + 3 = 5q$

$2q = 3$

$q = \frac{3}{2}$

Ответ: знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{2}$.

Первый член

Теперь, зная знаменатель $q = \frac{3}{2}$, найдем первый член $c_1$. Подставим значение $q$ в одно из уравнений системы, например, во второе: $c_1q^4(q - 1) = 81$.

$c_1(\frac{3}{2})^4(\frac{3}{2} - 1) = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{16} \cdot (\frac{3-2}{2}) = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{16} \cdot \frac{1}{2} = 81$

$c_1 \cdot \frac{81}{32} = 81$

Отсюда находим $c_1$:

$c_1 = 32$

Ответ: первый член прогрессии $c_1 = 32$.

Количество членов

Для нахождения количества членов $n$ воспользуемся формулой суммы $S_n = 665$ и уже найденными значениями $c_1 = 32$ и $q = \frac{3}{2}$.

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q-1}$

$665 = \frac{32((\frac{3}{2})^n - 1)}{\frac{3}{2} - 1}$

$665 = \frac{32((\frac{3}{2})^n - 1)}{\frac{1}{2}}$

$665 = 64 \cdot ((\frac{3}{2})^n - 1)$

Выразим $(\frac{3}{2})^n$:

$(\frac{3}{2})^n - 1 = \frac{665}{64}$

$(\frac{3}{2})^n = \frac{665}{64} + 1 = \frac{665 + 64}{64} = \frac{729}{64}$

Чтобы найти $n$, представим правую часть в виде степени числа $\frac{3}{2}$.

Так как $729 = 3^6$ и $64 = 2^6$, то $\frac{729}{64} = \frac{3^6}{2^6} = (\frac{3}{2})^6$.

Получаем уравнение:

$(\frac{3}{2})^n = (\frac{3}{2})^6$

Следовательно, $n=6$.

Ответ: количество членов прогрессии $n=6$.

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 36, 20, $11\frac{1}{9}$, ...;

2) 21, $3\sqrt{7}$, 3, ... .

1) Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ – первый член прогрессии, а $q$ – ее знаменатель. Формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии $36, 20, 11\frac{1}{9}, \dots$ первый член $b_1 = 36$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |\frac{5}{9}| = \frac{5}{9}$.

Поскольку $\frac{5}{9} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{36}{1 - \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{9}{9} - \frac{5}{9}} = \frac{36}{\frac{4}{9}} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 81.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $|q| < 1$.

В прогрессии $21, 3\sqrt{7}, 3, \dots$ первый член $b_1 = 21$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3\sqrt{7}}{21} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Проверим условие сходимости прогрессии:

$|q| = |\frac{\sqrt{7}}{7}| = \frac{\sqrt{7}}{7}$. Так как $7 < 49$, то $\sqrt{7} < \sqrt{49}=7$, а значит $\frac{\sqrt{7}}{7} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, сумма существует.

Вычислим сумму:

$S = \frac{21}{1 - \frac{\sqrt{7}}{7}} = \frac{21}{\frac{7 - \sqrt{7}}{7}} = \frac{21 \cdot 7}{7 - \sqrt{7}} = \frac{147}{7 - \sqrt{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $7 + \sqrt{7}$:

$S = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{(7 - \sqrt{7})(7 + \sqrt{7})} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{7^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{49 - 7} = \frac{147(7 + \sqrt{7})}{42}$.

Сократим дробь $\frac{147}{42}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 21:

$\frac{147}{42} = \frac{21 \cdot 7}{21 \cdot 2} = \frac{7}{2}$.

Тогда сумма равна:

$S = \frac{7}{2}(7 + \sqrt{7}) = \frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{49 + 7\sqrt{7}}{2}$.

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0.777...$;

2) $3.(27)$;

3) $0.2555...$;

4) $8.3(8)$.

1) Чтобы записать число $0,777...$ в виде обыкновенной дроби, обозначим его через $x$. Это чистая периодическая дробь $0,(7)$.
$x = 0,777...$
Умножим это уравнение на 10, так как в периоде одна цифра:
$10x = 7,777...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

2) Число $3,(27)$ можно представить как сумму целой части и дробной части: $3 + 0,(27)$.
Сначала преобразуем периодическую дробь $0,(27)$. Пусть $x = 0,2727...$.
Так как в периоде две цифры, умножим уравнение на 100:
$100x = 27,2727...$
Вычтем из полученного уравнения исходное:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{3}{11}$
Теперь добавим целую часть:
$3,(27) = 3 + \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{33+3}{11} = \frac{36}{11}$
Ответ: $\frac{36}{11}$

3) Число $0,2555...$ является смешанной периодической дробью, которую можно записать как $0,2(5)$.
Обозначим это число через $x$:
$x = 0,2555...$
Умножим уравнение на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:
$10x = 2,555...$
Теперь умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть и одну цифру периода:
$100x = 25,555...$
Вычтем из второго полученного уравнения первое:
$100x - 10x = 25,555... - 2,555...$
$90x = 23$
$x = \frac{23}{90}$
Ответ: $\frac{23}{90}$

4) Число $8,3(8)$ является смешанной периодической дробью с целой частью. Его можно представить как $8 + 0,3(8)$.
Сначала преобразуем дробную часть $y = 0,3(8) = 0,3888...$.
Умножим на 10:
$10y = 3,888...$
Умножим на 100:
$100y = 38,888...$
Вычтем первое уравнение из второго:
$100y - 10y = 38,888... - 3,888...$
$90y = 35$
$y = \frac{35}{90}$
Сократим дробь на 5:
$y = \frac{7}{18}$
Теперь добавим целую часть:
$8,3(8) = 8 + \frac{7}{18} = \frac{8 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{144+7}{18} = \frac{151}{18}$
Ответ: $\frac{151}{18}$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Эта формула верна при условии $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, нам даны:

• Сумма прогрессии $S = 75$.
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{4}{5}$.

Проверим, выполняется ли условие для существования суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$|q| = |\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$

Поскольку $\frac{4}{5} < 1$, условие выполняется, и мы можем использовать формулу для нахождения первого члена $b_1$.

Подставим известные значения в формулу:

$75 = \frac{b_1}{1 - \frac{4}{5}}$

Сначала упростим знаменатель в правой части уравнения:

$1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

Теперь уравнение принимает вид:

$75 = \frac{b_1}{\frac{1}{5}}$

Чтобы найти $b_1$, умножим обе части уравнения на знаменатель $\frac{1}{5}$:

$b_1 = 75 \cdot \frac{1}{5}$

$b_1 = \frac{75}{5}$

$b_1 = 15$

Ответ: 15.

242. Найдите пятый член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен $-24$, а сумма равна $-16$.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S$ — её сумма.

По условию задачи даны:
первый член $b_1 = -24$;
сумма прогрессии $S = -16$.

Необходимо найти пятый член прогрессии, который обозначается как $b_5$.

1. Нахождение знаменателя прогрессии q

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Это равенство справедливо при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.
Подставим известные значения $S$ и $b_1$ в формулу: $$-16 = \frac{-24}{1 - q}$$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $q$. Сначала выразим $(1 - q)$: $$1 - q = \frac{-24}{-16}$$ $$1 - q = \frac{3}{2}$$

Теперь найдём $q$: $$q = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$

Проверим, выполняется ли условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} < 1$, условие выполняется.

2. Нахождение пятого члена прогрессии b₅

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения пятого члена ($n=5$) подставим в эту формулу найденные значения $b_1 = -24$ и $q = -\frac{1}{2}$: $$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$$ $$b_5 = -24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4$$

Проведем вычисления: $$b_5 = -24 \cdot \frac{(-1)^4}{2^4} = -24 \cdot \frac{1}{16} = -\frac{24}{16}$$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8: $$b_5 = -\frac{24 \div 8}{16 \div 8} = -\frac{3}{2}$$ В виде десятичной дроби это значение равно $-1.5$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$

243. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = 36$, $b_4 = 16$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии, что $|q| < 1$.

По условию задачи даны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 36$ и $b_4 = 16$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$, чтобы связать $b_4$ и $b_2$:$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$.

Подставим известные значения в формулу и найдем знаменатель $q$:$16 = 36 \cdot q^2$$q^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя: $q = \frac{2}{3}$ и $q = -\frac{2}{3}$.

Так как в обоих случаях $|q| = \frac{2}{3} < 1$, то сумма бесконечной прогрессии существует. Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем сумму для каждой из них.

1. Рассмотрим случай, когда $q = \frac{2}{3}$. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_2 = b_1 \cdot q$:$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{36}{2/3} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 54$. Теперь вычислим сумму прогрессии:$S_1 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{54}{1 - 2/3} = \frac{54}{1/3} = 54 \cdot 3 = 162$.

2. Рассмотрим случай, когда $q = -\frac{2}{3}$. Найдем первый член прогрессии $b_1$:$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{36}{-2/3} = 36 \cdot (-\frac{3}{2}) = -54$. Вычислим сумму прогрессии:$S_2 = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-54}{1 - (-2/3)} = \frac{-54}{1 + 2/3} = \frac{-54}{5/3} = -54 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{162}{5} = -32,4$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 162 или -32,4.

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трёх её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$ (при условии, что $|q| < 1$). По условию задачи, $S = 27$. Составим первое уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 27$ (1)

Сумма первых трёх членов прогрессии $S_3$ равна $b_1 + b_2 + b_3$. Так как $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$, то $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, $S_3 = 35$. Составим второе уравнение:
$b_1(1+q+q^2) = 35$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 27 \\ b_1(1+q+q^2) = 35 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 27(1-q)$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$27(1-q)(1+q+q^2) = 35$

Используя формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, упростим левую часть уравнения:
$27(1-q^3) = 35$

Решим полученное уравнение относительно $q$:
$1-q^3 = \frac{35}{27}$
$q^3 = 1 - \frac{35}{27}$
$q^3 = \frac{27-35}{27}$
$q^3 = -\frac{8}{27}$
$q = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдём её первый член, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 27(1-q)$:
$b_1 = 27(1 - (-\frac{2}{3}))$
$b_1 = 27(1 + \frac{2}{3})$
$b_1 = 27(\frac{3+2}{3})$
$b_1 = 27 \cdot \frac{5}{3}$
$b_1 = 9 \cdot 5 = 45$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$ для существования суммы бесконечной прогрессии:
$|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1$. Условие выполняется.

Ответ: первый член прогрессии $b_1 = 45$, знаменатель прогрессии $q = -\frac{2}{3}$.