Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. В выборке из 30 чисел число 6 встречается 10 раз, число 10 встречается 12 раз и число 15 встречается 8 раз. Найдите среднее значение этой выборки.

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки находится путем деления суммы всех чисел в выборке на их общее количество.

Сначала найдем сумму всех чисел в данной выборке. Для этого умножим каждое число на частоту его появления и сложим полученные результаты.

• Сумма для числа 6, которое встречается 10 раз: $6 \times 10 = 60$
• Сумма для числа 10, которое встречается 12 раз: $10 \times 12 = 120$
• Сумма для числа 15, которое встречается 8 раз: $15 \times 8 = 120$

Теперь сложим эти суммы, чтобы найти общую сумму всех чисел в выборке:

Общая сумма = $60 + 120 + 120 = 300$

Общее количество чисел в выборке равно 30.

Теперь разделим общую сумму на количество чисел, чтобы найти среднее значение:

Среднее значение = $\frac{300}{30} = 10$

Ответ: 10.

174. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах совокупности данных:

1) 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,3; 4,4; 4,5;

2) 6, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 23.

1) Для совокупности данных: 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,3; 4,4; 4,5.

Данная совокупность состоит из 7 элементов, которые уже упорядочены по возрастанию.

• Среднее значение (или среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество.
  Сумма: $1,2 + 1,4 + 1,5 + 1,5 + 2,3 + 4,4 + 4,5 = 16,8$.
  Количество элементов: 7.
  Среднее значение: $\frac{16,8}{7} = 2,4$.
• Мода — это значение, которое встречается в совокупности чаще всего.
  В данном ряду число 1,5 встречается дважды, а все остальные числа — по одному разу.
  Следовательно, мода равна 1,5.
• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда.
  Поскольку в ряду 7 (нечетное число) элементов, медиана — это элемент, стоящий на 4-м месте.
  Ряд: 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,3; 4,4; 4,5.
  Медиана равна 1,5.
• Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в совокупности.
  Наибольшее значение: 4,5.
  Наименьшее значение: 1,2.
  Размах: $4,5 - 1,2 = 3,3$.

Ответ: Среднее значение = 2,4; мода = 1,5; медиана = 1,5; размах = 3,3.

2) Для совокупности данных: 6, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 23.

Данная совокупность состоит из 10 элементов, которые уже упорядочены по возрастанию.

• Среднее значение вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество.
  Сумма: $6 + 6 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 14 + 15 + 23 = 120$.
  Количество элементов: 10.
  Среднее значение: $\frac{120}{10} = 12$.
• Мода — это значение, которое встречается в совокупности чаще всего.
  В данном ряду числа 6 и 14 встречаются по два раза каждое, что чаще, чем остальные числа. Таким образом, у этого ряда две моды.
  Моды равны 6 и 14.
• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда.
  Поскольку в ряду 10 (четное число) элементов, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (5-го и 6-го).
  Ряд: 6, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 23.
  Медиана: $\frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
• Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в совокупности.
  Наибольшее значение: 23.
  Наименьшее значение: 6.
  Размах: $23 - 6 = 17$.

Ответ: Среднее значение = 12; мода = 6 и 14; медиана = 12; размах = 17.

175. В таблице приведено распределение по стажу водителей, работающих в некотором автопарке.

Найдите:

1) моду полученных данных;

2) относительную частоту, соответствующую стажу работы 20 лет.

1) моду полученных данных;

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В данном случае нам нужно найти стаж работы, которому соответствует наибольшее количество водителей.

Проанализируем строку "Количество водителей" в таблице: 3, 8, 12, 4, 5, 9, 6, 3.

Самое большое число в этой строке — 12. Оно соответствует стажу работы 10 лет.

Следовательно, мода данного распределения равна 10.

Ответ: 10

2) относительную частоту, соответствующую стажу работы 20 лет.

Относительная частота вычисляется как отношение частоты интересующего нас события к общему числу всех наблюдений. Формула:

$W = \frac{m}{n}$

где $m$ — это частота события (количество водителей с определенным стажем), а $n$ — это общее число наблюдений (общее количество водителей).

Сначала найдем общее количество водителей в автопарке, сложив все значения из второй строки таблицы:

$n = 3 + 8 + 12 + 4 + 5 + 9 + 6 + 3 = 50$

Всего в автопарке 50 водителей.

Теперь найдем частоту, соответствующую стажу работы 20 лет. Из таблицы видно, что количество водителей со стажем 20 лет равно 9. Таким образом, $m = 9$.

Теперь рассчитаем относительную частоту:

$W = \frac{9}{50} = 0,18$

Ответ: 0,18

176. Опросив 20 детей, пришедших в кинотеатр, об их возрасте, получили ряд данных: 12 лет, 13 лет, 14 лет, 12 лет, 14 лет, 14 лет, 15 лет, 13 лет, 15 лет, 16 лет, 15 лет, 15 лет, 12 лет, 15 лет, 16 лет, 16 лет, 16 лет, 14 лет, 14 лет, 14 лет. Составьте частотную таблицу и постройте соответствующую гистограмму.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала составить частотную таблицу на основе предоставленных данных, а затем построить гистограмму, которая визуализирует эту таблицу.

Составление частотной таблицы

Первым шагом проанализируем предоставленный ряд данных о возрасте 20 детей и подсчитаем, сколько раз встречается каждый возраст.
Исходный ряд данных: 12, 13, 14, 12, 14, 14, 15, 13, 15, 16, 15, 15, 12, 15, 16, 16, 16, 14, 14, 14.

Подсчитаем частоту для каждого возраста:

• Возраст 12 лет встречается 3 раза.
• Возраст 13 лет встречается 2 раза.
• Возраст 14 лет встречается 6 раз.
• Возраст 15 лет встречается 5 раз.
• Возраст 16 лет встречается 4 раза.

Проверим, что общее количество совпадает с числом опрошенных детей: $3 + 2 + 6 + 5 + 4 = 20$. Все верно.

Теперь представим эти данные в виде таблицы.

Ответ:

Построение гистограммы

На основе частотной таблицы построим гистограмму. По горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим возраст детей, а по вертикальной оси (оси ординат) — частоту, то есть количество детей соответствующего возраста. Высота каждого столбца гистограммы будет равна частоте для данного возраста.

Ответ:

177. Запишите пять первых членов последовательности:

1) двузначных чисел, кратных числу 7, взятых в порядке возрастания;

2) правильных обыкновенных дробей со знаменателем 23, взятых в порядке убывания;

3) натуральных чисел, дающих при делении на 4 остаток 3, взятых в порядке возрастания.

1) Двузначные числа — это числа в диапазоне от 10 до 99. Нам нужна последовательность таких чисел, которые делятся на 7 без остатка, и эта последовательность должна быть упорядочена по возрастанию.
Найдем первое двузначное число, кратное 7. Для этого будем умножать 7 на натуральные числа: $7 \cdot 1 = 7$ (однозначное), $7 \cdot 2 = 14$ (двузначное). Значит, первый член последовательности — 14.
Каждый следующий член будет на 7 больше предыдущего. Найдем первые пять членов:
Первый член: $14$
Второй член: $14 + 7 = 21$
Третий член: $21 + 7 = 28$
Четвертый член: $28 + 7 = 35$
Пятый член: $35 + 7 = 42$
Ответ: 14, 21, 28, 35, 42.

2) Правильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае знаменатель равен 23. Следовательно, числитель может быть любым натуральным числом от 1 до 22.
Последовательность должна быть составлена в порядке убывания. Чем больше числитель (при одинаковом знаменателе), тем больше значение дроби. Значит, нужно начать с наибольшего возможного числителя и уменьшать его.
Наибольший возможный числитель — 22.
Первые пять членов последовательности:
$\frac{22}{23}, \frac{21}{23}, \frac{20}{23}, \frac{19}{23}, \frac{18}{23}$
Ответ: $\frac{22}{23}, \frac{21}{23}, \frac{20}{23}, \frac{19}{23}, \frac{18}{23}$.

3) Натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, можно найти по формуле $a = 4 \cdot k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \ldots$). Нам нужно найти первые пять таких чисел в порядке возрастания, для этого будем подставлять вместо $k$ последовательные значения, начиная с 0.
При $k=0$: $4 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $4 \cdot 1 + 3 = 7$
При $k=2$: $4 \cdot 2 + 3 = 11$
При $k=3$: $4 \cdot 3 + 3 = 15$
При $k=4$: $4 \cdot 4 + 3 = 19$
Ответ: 3, 7, 11, 15, 19.