Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. К сплаву меди и цинка, содержавшему 10 кг меди и не более 10 кг цинка, добавили 4 кг меди. В результате этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 7,5 %. Какой была первоначальная масса сплава?

Пусть первоначальная масса цинка в сплаве была $x$ кг. По условию задачи, масса цинка была не более 10 кг, следовательно, $0 < x \le 10$.

Первоначальная масса всего сплава составляла $10 + x$ кг.
Процентное содержание меди в первоначальном сплаве было равно:
$P_1 = \frac{10}{10+x} \times 100\%$

После того как к сплаву добавили 4 кг меди, масса меди в нем стала $10 + 4 = 14$ кг, а общая масса сплава стала $(10 + x) + 4 = 14 + x$ кг.
Новое процентное содержание меди в сплаве стало:
$P_2 = \frac{14}{14+x} \times 100\%$

По условию, процентное содержание меди увеличилось на 7,5%, это означает, что $P_2 - P_1 = 7,5$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{14}{14+x} \times 100 - \frac{10}{10+x} \times 100 = 7,5$

Разделим обе части уравнения на 100:
$\frac{14}{14+x} - \frac{10}{10+x} = 0,075$
Представим 0,075 в виде обыкновенной дроби: $0,075 = \frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
$\frac{14(10+x) - 10(14+x)}{(14+x)(10+x)} = \frac{3}{40}$
$\frac{140 + 14x - 140 - 10x}{(14+x)(10+x)} = \frac{3}{40}$
$\frac{4x}{x^2 + 10x + 14x + 140} = \frac{3}{40}$
$\frac{4x}{x^2 + 24x + 140} = \frac{3}{40}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$4x \cdot 40 = 3(x^2 + 24x + 140)$
$160x = 3x^2 + 72x + 420$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 + 72x - 160x + 420 = 0$
$3x^2 - 88x + 420 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-88)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 420 = 7744 - 5040 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{88 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{140}{6} = \frac{70}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{88 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

Теперь проверим корни на соответствие условию задачи $x \le 10$.
Корень $x_1 = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $23\frac{1}{3} > 10$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 \le 10$.
Следовательно, первоначальная масса цинка в сплаве была 6 кг.

Первоначальная масса сплава равна сумме масс меди и цинка:
$10 \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 16 \text{ кг}$.

Ответ: 16 кг.

155. Известно, что $x = 14.6 \pm 0.3$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$:

1) 15;

2) 14,2;

3) 14,7;

4) 14,1?

Условие $x = 14,6 \pm 0,3$ означает, что точное значение x находится в интервале, который можно найти, вычтя и прибавив погрешность 0,3 к значению 14,6.

Найдем границы этого интервала:

Нижняя граница: $14,6 - 0,3 = 14,3$.

Верхняя граница: $14,6 + 0,3 = 14,9$.

Следовательно, точное значение x должно удовлетворять двойному неравенству: $14,3 \leq x \leq 14,9$.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел принадлежит этому интервалу.

1) 15;

Число 15 не принадлежит интервалу $[14,3; 14,9]$, так как $15 > 14,9$.

2) 14,2;

Число 14,2 не принадлежит интервалу $[14,3; 14,9]$, так как $14,2 < 14,3$.

3) 14,7;

Число 14,7 принадлежит интервалу $[14,3; 14,9]$, так как выполняется неравенство $14,3 \leq 14,7 \leq 14,9$.

4) 14,1;

Число 14,1 не принадлежит интервалу $[14,3; 14,9]$, так как $14,1 < 14,3$.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое может быть точным значением x, — это 14,7.

Ответ: 3) 14,7.

156. Найдите абсолютную погрешность приближения числа $\frac{1}{6}$ числом:

1) 0,16;

2) 0,17;

3) 0,167.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением и его приближённым значением. Она вычисляется по формуле: $Δ = |x - a|$, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближённое значение.

В этой задаче точное значение $x = \frac{1}{6}$. Для удобства вычислений представим это число в виде бесконечной периодической десятичной дроби: $x = \frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1(6)$.

Найдём абсолютную погрешность для приближённого значения $a = 0,16$. Для получения точного результата выполним вычисления в обыкновенных дробях.

$Δ = |\frac{1}{6} - 0,16| = |\frac{1}{6} - \frac{16}{100}| = |\frac{1}{6} - \frac{4}{25}|$.

Приведём дроби к общему знаменателю $150$:

$Δ = |\frac{1 \cdot 25}{150} - \frac{4 \cdot 6}{150}| = |\frac{25 - 24}{150}| = \frac{1}{150}$.

В виде десятичной дроби результат равен $0,00(6)$.

Ответ: $\frac{1}{150}$.

Найдём абсолютную погрешность для приближённого значения $a = 0,17$.

$Δ = |\frac{1}{6} - 0,17| = |\frac{1}{6} - \frac{17}{100}|$.

Приведём дроби к общему знаменателю $300$:

$Δ = |\frac{1 \cdot 50}{300} - \frac{17 \cdot 3}{300}| = |\frac{50 - 51}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$.

В виде десятичной дроби результат равен $0,00(3)$.

Ответ: $\frac{1}{300}$.

Найдём абсолютную погрешность для приближённого значения $a = 0,167$.

$Δ = |\frac{1}{6} - 0,167| = |\frac{1}{6} - \frac{167}{1000}|$.

Приведём дроби к общему знаменателю $3000$:

$Δ = |\frac{1 \cdot 500}{3000} - \frac{167 \cdot 3}{3000}| = |\frac{500 - 501}{3000}| = |-\frac{1}{3000}| = \frac{1}{3000}$.

В виде десятичной дроби результат равен $0,000(3)$.

Ответ: $\frac{1}{3000}$.

157. В справочнике указано, что плотность осмия равна $22.6 \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности осмия?

Приближенное значение плотности осмия дано как 22,6 г/см³. В этом числе последняя значащая цифра (6) стоит в разряде десятых. Это означает, что измерение или расчет были округлены до одной цифры после запятой.

Точность, с которой указывается приближенное значение, по определению равна половине единицы того разряда, до которого было произведено округление.

Единица разряда десятых — это 0,1.

Следовательно, чтобы найти точность, нужно разделить эту единицу на 2:

$ \frac{0,1}{2} = 0,05 $ г/см³

Это означает, что истинное значение плотности $\rho$ находится в интервале:

$ 22,6 - 0,05 \le \rho < 22,6 + 0,05 $, то есть $ 22,55 \le \rho < 22,65 $.

Таким образом, значение указано с точностью до 0,05 г/см³.

Ответ: с точностью до 0,05 г/см³.

158. В справочнике указано, что плотность кислорода равна $1,429 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности кислорода?

Приближенное значение плотности кислорода представлено в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $a = 1,429$ – мантисса, а $n = -3$ – порядок числа.
Точность приближенного значения определяется по последней значащей цифре мантиссы. В мантиссе $1,429$ последняя значащая цифра – 9, она находится в разряде тысячных. Это означает, что точность мантиссы составляет $0,001$ или $10^{-3}$.
Чтобы определить точность всего числа, необходимо умножить точность мантиссы на степенной множитель:
Точность = (Точность мантиссы) $\cdot 10^n = 0,001 \cdot 10^{-3} = 10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-6}$ г/см³.
Это означает, что значение плотности указано с точностью до одной миллионной г/см³.
Ответ: $10^{-6}$ г/см³.

159. В справочнике указано, что масса атома углерода равна $1,99 \cdot 10^{-26}$ кг. Найдите относительную погрешность этого приближения.

Приближенное значение массы атома углерода дано как $a = 1,99 \cdot 10^{-26}$ кг. Это значение представлено в стандартном виде, и его мантисса $1,99$ округлена до сотых.

Абсолютная погрешность приближения по правилу округления не превышает половины единицы последнего разряда, до которого оно произведено. В данном случае округление произведено до сотых ($0,01$), поэтому абсолютная погрешность мантиссы $\Delta$ не превышает $\frac{0,01}{2} = 0,005$.

Следовательно, абсолютная погрешность самого значения массы $\Delta a$ не превышает $0,005 \cdot 10^{-26}$ кг.

Относительная погрешность $\delta$ определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого значения, то есть по формуле $\delta = \frac{\Delta a}{|a|}$. Найдем ее верхнюю границу:$\delta \le \frac{0,005 \cdot 10^{-26}}{1,99 \cdot 10^{-26}} = \frac{0,005}{1,99}$.

Вычислим это значение: $\frac{0,005}{1,99} = \frac{5}{1990} = \frac{1}{398} \approx 0,00251256...$

Для выражения относительной погрешности в процентах, умножим результат на 100% и округлим: $0,00251256... \cdot 100\% \approx 0,25\%$.

Ответ: $\approx 0,25\%$

160. Оркестру нужны скрипач, пианист и флейтист. На место скрипача имеется 7 кандидатов, на место пианиста — 5, а на место флейтиста — 2. Сколько существует вариантов приёма в оркестр трёх новых музыкантов?

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Поскольку выбор скрипача, пианиста и флейтиста являются независимыми друг от друга событиями, общее количество вариантов для приёма трёх музыкантов равно произведению числа кандидатов на каждую должность.
Число кандидатов на место скрипача — 7.
Число кандидатов на место пианиста — 5.
Число кандидатов на место флейтиста — 2.
Чтобы найти общее число вариантов, перемножим эти значения:
$N = 7 \times 5 \times 2 = 70$
Таким образом, существует 70 различных вариантов приёма в оркестр трёх новых музыкантов.
Ответ: 70

161. На блюде лежат 6 яблок, 5 груш и 7 слив. Сколькими способами можно взять 2 различных фрукта?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество способов выбрать два фрукта разных видов. У нас есть три вида фруктов: 6 яблок, 5 груш и 7 слив.

Выбор двух различных фруктов можно разбить на три непересекающихся случая:

1. Выбирается одно яблоко и одна груша.
2. Выбирается одно яблоко и одна слива.
3. Выбирается одна груша и одна слива.

Для каждого случая количество способов можно рассчитать по правилу умножения в комбинаторике.

1. Количество способов выбрать 1 яблоко и 1 грушу.
Яблоко можно выбрать 6 способами (так как их 6), а грушу — 5 способами. Число способов для этой комбинации: $6 \times 5 = 30$.

2. Количество способов выбрать 1 яблоко и 1 сливу.
Яблоко можно выбрать 6 способами, а сливу — 7 способами. Число способов для этой комбинации: $6 \times 7 = 42$.

3. Количество способов выбрать 1 грушу и 1 сливу.
Грушу можно выбрать 5 способами, а сливу — 7 способами. Число способов для этой комбинации: $5 \times 7 = 35$.

Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество способов для всех трех случаев, так как они являются взаимоисключающими (по правилу сложения):
$30 + 42 + 35 = 107$.

Таким образом, существует 107 способов взять 2 различных фрукта.

Ответ: 107

162. Сколькими способами можно распределить 12 наборов карандашей между 12 учениками?

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа перестановок. Мы имеем 12 различных учеников и 12 наборов карандашей, которые также считаются различными (если не указано обратное). Необходимо каждому ученику дать по одному набору.

Рассмотрим процесс распределения по шагам.

Для первого ученика мы можем выбрать любой из 12 имеющихся наборов карандашей. Следовательно, у нас есть 12 вариантов.

После того, как первый ученик получил свой набор, у нас остается 11 наборов. Для второго ученика мы можем выбрать любой из этих 11 наборов, то есть у нас есть 11 вариантов.

Для третьего ученика останется 10 наборов на выбор, для четвертого — 9, и так далее.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до двенадцатого ученика. Для него останется только один набор, то есть будет всего 1 вариант.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов распределения равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Это соответствует числу перестановок из 12 элементов, которое обозначается как $P_{12}$ и вычисляется по формуле факториала:

$P_{12} = 12!$

Вычислим значение $12!$:
$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$12! = 479 001 600$

Таким образом, существует 479 001 600 способов распределить 12 наборов карандашей между 12 учениками.

Ответ: $479001600$

163. Сколько пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для решения данной задачи необходимо определить количество комбинаций для составления пятизначного числа из шести предложенных цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы составляем пятизначное число, то есть нам нужно заполнить 5 позиций (разрядов). В условии не сказано, что цифры не могут повторяться, поэтому будем считать, что повторения цифр разрешены.

Рассмотрим каждую позицию в пятизначном числе:

• На место первой цифры (разряд десятков тысяч) можно поставить любую из 6 предложенных цифр. Следовательно, есть 6 вариантов.
• На место второй цифры (разряд тысяч) также можно поставить любую из 6 цифр, так как повторения разрешены. Это еще 6 вариантов.
• Аналогично, для третьей цифры (разряд сотен) существует 6 вариантов.
• Для четвертой цифры (разряд десятков) — 6 вариантов.
• Для пятой цифры (разряд единиц) — также 6 вариантов.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество возможных пятизначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:

$N = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^5$

Вычислим значение этого выражения:

$6^5 = 7776$

Данная задача является примером нахождения числа размещений с повторениями. Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ позициям: $ \bar{A}_n^k = n^k $. В нашем случае $n=6$ (количество доступных цифр) и $k=5$ (количество разрядов в числе).

$ \bar{A}_6^5 = 6^5 = 7776 $

Ответ: 7776.