Номер 162, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Сколькими способами можно распределить 12 наборов карандашей между 12 учениками?

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа перестановок. Мы имеем 12 различных учеников и 12 наборов карандашей, которые также считаются различными (если не указано обратное). Необходимо каждому ученику дать по одному набору.

Рассмотрим процесс распределения по шагам.

Для первого ученика мы можем выбрать любой из 12 имеющихся наборов карандашей. Следовательно, у нас есть 12 вариантов.

После того, как первый ученик получил свой набор, у нас остается 11 наборов. Для второго ученика мы можем выбрать любой из этих 11 наборов, то есть у нас есть 11 вариантов.

Для третьего ученика останется 10 наборов на выбор, для четвертого — 9, и так далее.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до двенадцатого ученика. Для него останется только один набор, то есть будет всего 1 вариант.

Согласно правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов распределения равно произведению числа вариантов на каждом шаге. Это соответствует числу перестановок из 12 элементов, которое обозначается как $P_{12}$ и вычисляется по формуле факториала:

$P_{12} = 12!$

Вычислим значение $12!$:
$12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$12! = 479 001 600$

Таким образом, существует 479 001 600 способов распределить 12 наборов карандашей между 12 учениками.

Ответ: $479001600$