Номер 164, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Сколько пятизначных чисел, кратных 10, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при соблюдении следующих условий:

• Число является пятизначным.
• Все цифры в числе различны.
• Число кратно 10.

Рассмотрим каждую позицию в пятизначном числе.

1. Последняя цифра (разряд единиц).
Условие, что число кратно 10, означает, что оно должно оканчиваться на 0. Таким образом, для последней позиции есть только один возможный вариант — цифра 0.

Структура числа выглядит так: _ _ _ _ 0.

2. Оставшиеся цифры.
Поскольку все цифры должны быть различны, а мы уже использовали 0, для заполнения первых четырех позиций у нас остаются цифры {1, 2, 3, 4}.

3. Первая цифра (разряд десятков тысяч).
Первая цифра пятизначного числа не может быть 0. Это условие выполняется, так как 0 уже занят. Следовательно, на первую позицию можно поставить любую из оставшихся четырех цифр (1, 2, 3 или 4). У нас есть 4 варианта.

4. Вторая, третья и четвертая цифры.
После выбора первой цифры, для второй останется 3 варианта. Для третьей позиции останется 2 варианта. Для четвертой позиции останется 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой из первых четырех позиций. Это равно числу перестановок из 4 элементов ($4!$).

Общее количество чисел = $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24