Номер 165, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Рассматриваются пятизначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 3 и по одному разу каждая из цифр 1, 2 и 4. Сколько существует таких чисел?

Задача заключается в нахождении количества различных пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {1, 2, 3, 3, 4}.

Мы имеем 5 цифр, из которых нужно составить пятизначное число. Поскольку в наборе нет нуля, любая перестановка этих пяти цифр даст в результате пятизначное число.

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок с повторениями. Общее количество перестановок из $n$ элементов, где некоторые элементы повторяются $n_1, n_2, \ldots, n_k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(n_1, n_2, \ldots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$

В нашем случае:

• Общее количество цифр $n=5$.
• Цифра 3 повторяется 2 раза ($n_1=2$).
• Цифры 1, 2 и 4 встречаются по одному разу ($n_2=1, n_3=1, n_4=1$).

Подставляем эти значения в формулу:

$N = \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5!}{2!}$

Рассчитаем значение факториалов:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$2! = 1 \cdot 2 = 2$

Теперь найдем общее количество таких чисел:

$N = \frac{120}{2} = 60$

Альтернативный способ решения:

Можно рассуждать поэтапно, размещая цифры на пяти позициях.

1. Сначала выберем две позиции для двух цифр 3 из пяти доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$ способов.

2. После размещения двух троек у нас останется 3 свободных места. На эти места нужно расставить оставшиеся 3 различные цифры: 1, 2 и 4.

3. Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х оставшихся местах равно числу перестановок из 3 элементов ($P_3$):

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ способов.

4. Чтобы найти общее количество таких пятизначных чисел, необходимо перемножить количество способов на каждом этапе:

$N = C_5^2 \cdot P_3 = 10 \cdot 6 = 60$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 60