Номер 172, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что произведение номеров двух наугад выбранных карточек будет кратным 3?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. У нас есть 4 карточки, и мы выбираем 2 из них. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее количество карточек) и $k=2$ (количество выбираемых карточек). Общее число исходов $N$ равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Всего существует 6 возможных пар карточек, которые можно выбрать: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4).

Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это такой, при котором произведение номеров на двух выбранных карточках кратно 3. Произведение двух целых чисел делится на 3, если хотя бы один из сомножителей делится на 3.

Среди номеров карточек {1, 2, 3, 4} только число 3 кратно 3. Следовательно, для выполнения условия одна из выбранных карточек должна быть карточкой с номером 3.

Найдем все пары, которые содержат карточку с номером 3:
1. Пара (1, 3). Произведение: $1 \cdot 3 = 3$. 3 кратно 3.
2. Пара (2, 3). Произведение: $2 \cdot 3 = 6$. 6 кратно 3.
3. Пара (3, 4). Произведение: $3 \cdot 4 = 12$. 12 кратно 3.

Таким образом, у нас есть 3 благоприятных исхода. Обозначим их количество как $M$. Итак, $M=3$.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$