Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 - 2xy = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - xy + y = 16, \\ 3y - x = 14; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 - 4x = 18; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4)(y - 5) = -4. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 - 2xy = 3; \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$y^2 - 2(2 + y)y = 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 4y - 2y^2 = 3$
$-y^2 - 4y - 3 = 0$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$y^2 + 4y + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = -4$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 3$. Подбором находим корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня, используя уравнение $x = 2 + y$:
1. Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 2 + (-1) = 1$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 2 + (-3) = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1; -1)$, $(-1; -3)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$
Эта система является прямой иллюстрацией теоремы Виета для квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, где $x$ и $y$ являются корнями. Подставим значения из системы:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Корни уравнения — это $3$ и $4$. Следовательно, пары решений $(x, y)$ — это $(3; 4)$ и $(4; 3)$.
Ответ: $(3; 4)$, $(4; 3)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3; \end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 6 - 4x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + 3x(6 - 4x) - (6 - 4x)^2 = 3$
Раскроем скобки:
$x^2 + 18x - 12x^2 - (36 - 48x + 16x^2) = 3$
$x^2 + 18x - 12x^2 - 36 + 48x - 16x^2 = 3$
Приведем подобные слагаемые:
$-27x^2 + 66x - 36 = 3$
$-27x^2 + 66x - 39 = 0$
Разделим уравнение на $-3$ для упрощения:
$9x^2 - 22x + 13 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 - 468 = 16$.
$x_1 = \frac{22 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 - 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$x_2 = \frac{22 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 + 4}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 6 - 4x$:
1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 4 \cdot 1 = 2$.
2. Если $x_2 = \frac{13}{9}$, то $y_2 = 6 - 4 \cdot \frac{13}{9} = \frac{54}{9} - \frac{52}{9} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $(1; 2)$, $(\frac{13}{9}; \frac{2}{9})$.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy + y = 16, \\ 3y - x = 14; \end{cases}$
Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3y - 14$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(3y - 14)^2 - (3y - 14)y + y = 16$
Раскроем скобки:
$(9y^2 - 84y + 196) - (3y^2 - 14y) + y = 16$
$9y^2 - 84y + 196 - 3y^2 + 14y + y = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$6y^2 - 69y + 196 = 16$
$6y^2 - 69y + 180 = 0$
Разделим уравнение на $3$ для упрощения:
$2y^2 - 23y + 60 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49$.
$y_1 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{23 - 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$y_2 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{23 + 7}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 3y - 14$:
1. Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 \cdot 4 - 14 = 12 - 14 = -2$.
2. Если $y_2 = \frac{15}{2}$, то $x_2 = 3 \cdot \frac{15}{2} - 14 = \frac{45}{2} - \frac{28}{2} = \frac{17}{2}$.
Ответ: $(-2; 4)$, $(\frac{17}{2}; \frac{15}{2})$.

5) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 - 4x = 18; \end{cases}$
Выразим $2x$ из первого уравнения: $2x = 3 - 3y$. Тогда $4x = 2(3 - 3y) = 6 - 6y$.
Подставим выражение для $4x$ во второе уравнение:
$3y^2 - (6 - 6y) = 18$
$3y^2 - 6 + 6y = 18$
$3y^2 + 6y - 24 = 0$
Разделим уравнение на $3$:
$y^2 + 2y - 8 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -2$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя $2x = 3 - 3y$ (или $x = \frac{3-3y}{2}$):
1. Если $y_1 = 2$, то $2x_1 = 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3$, откуда $x_1 = -\frac{3}{2}$.
2. Если $y_2 = -4$, то $2x_2 = 3 - 3 \cdot (-4) = 3 + 12 = 15$, откуда $x_2 = \frac{15}{2}$.
Ответ: $(-\frac{3}{2}; 2)$, $(\frac{15}{2}; -4)$.

6) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4)(y - 5) = -4; \end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -7 - 5x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x + 4)((-7 - 5x) - 5) = -4$
$(x + 4)(-12 - 5x) = -4$
Раскроем скобки:
$-12x - 5x^2 - 48 - 20x = -4$
$-5x^2 - 32x - 48 = -4$
$-5x^2 - 32x - 44 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$5x^2 + 32x + 44 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 32^2 - 4 \cdot 5 \cdot 44 = 1024 - 880 = 144$.
$x_1 = \frac{-32 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-32 - 12}{10} = \frac{-44}{10} = -\frac{22}{5}$
$x_2 = \frac{-32 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-32 + 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = -7 - 5x$:
1. Если $x_1 = -\frac{22}{5}$, то $y_1 = -7 - 5 \cdot (-\frac{22}{5}) = -7 + 22 = 15$.
2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -7 - 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3$.
Ответ: $(-\frac{22}{5}; 15)$, $(-2; 3)$.

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=x-3$ и параболы $y=x^2-4x+3$;

2) прямой $x-2y+2=0$ и окружности $x^2+(y-1)^2=5$;

3) прямой $x+2y-5=0$ и окружности $(x-1)^2+(y-2)^2=5$;

4) парабол $y=2x^2-3x+1$ и $y=-x^2+x-1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения прямой $y = x - 3$ и параболы $y = x^2 - 4x + 3$ необходимо решить систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений, чтобы исключить $y$: $x - 3 = x^2 - 4x + 3$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в более простое уравнение прямой $y = x - 3$. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 3 - 3 = 0$. Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(2, -1)$ и $(3, 0)$.

2) Для нахождения координат точек пересечения прямой $x - 2y + 2 = 0$ и окружности $x^2 + (y - 1)^2 = 5$ решим систему уравнений:

Выразим $x$ из первого (линейного) уравнения: $x = 2y - 2$. Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение (уравнение окружности): $(2y - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$. Раскроем скобки: $(4y^2 - 8y + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 5$. Приведем подобные слагаемые: $5y^2 - 10y + 5 = 5$. Упростим уравнение, вычитая 5 с обеих сторон: $5y^2 - 10y = 0$. Вынесем общий множитель $5y$ за скобки: $5y(y - 2) = 0$. Отсюда находим два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$. Найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 2y - 2$. Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2(0) - 2 = -2$. Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2(2) - 2 = 2$. Таким образом, точки пересечения имеют следующие координаты.

Ответ: $(-2, 0)$ и $(2, 2)$.

3) Найдем точки пересечения прямой $x + 2y - 5 = 0$ и окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$. Для этого решим систему:

Из линейного уравнения $x + 2y - 5 = 0$ выразим $x$: $x = 5 - 2y$. Подставим это выражение в уравнение окружности: $((5 - 2y) - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$, что упрощается до $(4 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 5$. Раскроем скобки: $(16 - 16y + 4y^2) + (y^2 - 4y + 4) = 5$. Приведем подобные слагаемые: $5y^2 - 20y + 20 = 5$. Перенесем 5 в левую часть: $5y^2 - 20y + 15 = 0$. Разделим все уравнение на 5 для упрощения: $y^2 - 4y + 3 = 0$. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$. Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 5 - 2y$. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 - 2(1) = 3$. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 5 - 2(3) = -1$. Таким образом, мы нашли две точки пересечения.

Ответ: $(3, 1)$ и $(-1, 3)$.

4) Для нахождения точек пересечения парабол $y = 2x^2 - 3x + 1$ и $y = -x^2 + x - 1$ решим систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $2x^2 - 3x + 1 = -x^2 + x - 1$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 + x^2 - 3x - x + 1 + 1 = 0$, что дает $3x^2 - 4x + 2 = 0$. Для решения этого уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=3, b=-4, c=2$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$. Так как дискриминант $D = -8$ отрицателен, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики данных парабол не пересекаются.

Ответ: Точек пересечения нет.

131. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 36, \\ x + y = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 4, \\ x^2 - xy - 4y^2 = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 6y^2 = -5, \\ x^2 + 6y^2 = 7; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x + 3xy = -20, \\ y - 3xy = 28; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -3. \end{cases}$

1)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 36, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
Таким образом, первое уравнение принимает вид:
$(x-y)^2 = 36$
Отсюда следует, что $x-y$ может быть равно $6$ или $-6$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x-y = 6$.
Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 6, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = 6 + (-4)$, что дает $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение исходной системы: $1 + y = -4$, откуда $y=-5$.
Первое решение: $(1, -5)$.
Случай 2: $x-y = -6$.
Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = -6, \\ x + y = -4 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x-y) + (x+y) = -6 + (-4)$, что дает $2x = -10$, откуда $x=-5$.
Подставим $x=-5$ во второе уравнение исходной системы: $-5 + y = -4$, откуда $y=1$.
Второе решение: $(-5, 1)$.
Ответ: $(1, -5)$, $(-5, 1)$.

2)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 6xy + 9y^2 = 4, \\ x^2 - xy - 4y^2 = -2 \end{cases} $
Первое уравнение является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x+3y)^2$.
Таким образом, $(x+3y)^2 = 4$, откуда $x+3y = 2$ или $x+3y = -2$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+3y = 2$, откуда $x = 2-3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2-3y)^2 - (2-3y)y - 4y^2 = -2$
$(4 - 12y + 9y^2) - (2y - 3y^2) - 4y^2 = -2$
$4 - 12y + 9y^2 - 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2$
$8y^2 - 14y + 6 = 0$
$4y^2 - 7y + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$y_1 = \frac{7+1}{8} = 1$, тогда $x_1 = 2 - 3(1) = -1$.
$y_2 = \frac{7-1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, тогда $x_2 = 2 - 3(\frac{3}{4}) = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4}$.
Получили два решения: $(-1, 1)$ и $(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$.
Случай 2: $x+3y = -2$, откуда $x = -2-3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(-2-3y)^2 - (-2-3y)y - 4y^2 = -2$
$(4 + 12y + 9y^2) - (-2y - 3y^2) - 4y^2 = -2$
$4 + 12y + 9y^2 + 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2$
$8y^2 + 14y + 6 = 0$
$4y^2 + 7y + 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$y_3 = \frac{-7+1}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$, тогда $x_3 = -2 - 3(-\frac{3}{4}) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.
$y_4 = \frac{-7-1}{8} = -1$, тогда $x_4 = -2 - 3(-1) = 1$.
Получили еще два решения: $(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})$ и $(1, -1)$.
Ответ: $(-1, 1)$, $(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$, $(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4})$, $(1, -1)$.

3)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ xy + y^2 = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 + xy) + (xy + y^2) = 6 + 3$
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
$(x+y)^2 = 9$
Отсюда $x+y=3$ или $x+y=-3$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + xy) - (xy + y^2) = 6 - 3$
$x^2 - y^2 = 3$
$(x-y)(x+y) = 3$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+y = 3$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y)=3$:
$(x-y) \cdot 3 = 3$, откуда $x-y=1$.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x+y = 3, \\ x-y = 1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x=4$, то есть $x=2$. Тогда $2+y=3$, $y=1$.
Решение: $(2, 1)$.
Случай 2: $x+y = -3$.
Подставим это в уравнение $(x-y)(x+y)=3$:
$(x-y) \cdot (-3) = 3$, откуда $x-y=-1$.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x+y = -3, \\ x-y = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2x=-4$, то есть $x=-2$. Тогда $-2+y=-3$, $y=-1$.
Решение: $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

4)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 6y^2 = -5, \\ x^2 + 6y^2 = 7 \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.
Сложим два уравнения:
$(x^2 - 6y^2) + (x^2 + 6y^2) = -5 + 7$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.
Подставим $x^2 = 1$ в любое из уравнений, например, во второе:
$1 + 6y^2 = 7$
$6y^2 = 6$
$y^2 = 1$, откуда $y=1$ или $y=-1$.
Комбинируя возможные значения для $x$ и $y$, получаем четыре решения.
Ответ: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.

5)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + 3xy = -20, \\ y - 3xy = 28 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы избавиться от члена $3xy$:
$(2x + 3xy) + (y - 3xy) = -20 + 28$
$2x + y = 8$
Выразим $y$ через $x$: $y = 8 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$2x + 3x(8 - 2x) = -20$
$2x + 24x - 6x^2 = -20$
$-6x^2 + 26x + 20 = 0$
Разделим уравнение на $-2$:
$3x^2 - 13x - 10 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{13+17}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.
$x_2 = \frac{13-17}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$.
Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то $y_2 = 8 - 2(-\frac{2}{3}) = 8 + \frac{4}{3} = \frac{24+4}{3} = \frac{28}{3}$.
Ответ: $(5, -2)$, $(-\frac{2}{3}, \frac{28}{3})$.

6)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{3}{x}$ (так как $x \ne 0$).
Подставим это в первое уравнение:
$4x^2 + (-\frac{3}{x})^2 = 13$
$4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$
Умножим обе части на $x^2$:
$4x^4 + 9 = 13x^2$
$4x^4 - 13x^2 + 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t > 0$):
$4t^2 - 13t + 9 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{13+5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.
$t_2 = \frac{13-5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к замене.
Случай 1: $x^2 = t_1 = \frac{9}{4}$.
$x = \pm \frac{3}{2}$.
Если $x = \frac{3}{2}$, то $y = -\frac{3}{3/2} = -2$.
Если $x = -\frac{3}{2}$, то $y = -\frac{3}{-3/2} = 2$.
Получаем решения $(\frac{3}{2}, -2)$ и $(-\frac{3}{2}, 2)$.
Случай 2: $x^2 = t_2 = 1$.
$x = \pm 1$.
Если $x = 1$, то $y = -\frac{3}{1} = -3$.
Если $x = -1$, то $y = -\frac{3}{-1} = 3$.
Получаем решения $(1, -3)$ и $(-1, 3)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}, -2)$, $(-\frac{3}{2}, 2)$, $(1, -3)$, $(-1, 3)$.

132. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 13, \\ xy = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y - xy = -2, \\ xy(x + y) = 48; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{2}, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{2}{x - 2y} + \frac{1}{x + 2y} = 7, \\ \frac{15}{x - 2y} - \frac{2}{x + 2y} = 24; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} - \frac{2(x - y)}{x + y} = 1, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 = 4. \end{cases}$