Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 4}$;

2) $y = \sqrt{x} - 4$;

3) $y = 3 + \sqrt{x + 1}$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

График этой функции представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной параболе $y = x^2$ (при $x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, выбирая $x$ так, чтобы из него легко извлекался квадратный корень:

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции $y = \sqrt{x}$. Все последующие графики в задаче строятся путем геометрических преобразований (сдвигов) этого базового графика.

1) $y = \sqrt{x-4}$

Данная функция имеет вид $y = f(x-a)$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $a=4$. Построение графика функции $y = f(x-a)$ сводится к параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox) на $a$ единиц. Поскольку $a=4 > 0$, сдвиг выполняется вправо.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-4}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0+4, y_0)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0+4; 0) → (4; 0).
• Точка (1; 1) переместится в (1+4; 1) → (5; 1).
• Точка (4; 2) переместится в (4+4; 2) → (8; 2).

Область определения функции: $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-4}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

2) $y = \sqrt{x}-4$

Данная функция имеет вид $y = f(x)+b$, где $f(x)=\sqrt{x}$ и $b=-4$. Построение графика функции $y = f(x)+b$ сводится к параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy) на $b$ единиц. Поскольку $b=-4 < 0$, сдвиг выполняется вниз.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x}-4$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0, y_0-4)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0; 0-4) → (0; -4).
• Точка (1; 1) переместится в (1; 1-4) → (1; -3).
• Точка (4; 2) переместится в (4; 2-4) → (4; -2).

Область определения функции не меняется: $x \ge 0$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}-4$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

3) $y = 3+\sqrt{x+1}$

Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{x+1}+3$. Данная функция имеет вид $y = f(x-a)+b$, где $f(x)=\sqrt{x}$, $a=-1$ и $b=3$. Для построения ее графика необходимо выполнить два последовательных сдвига графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг на $a=-1$ вдоль оси Ox, что соответствует сдвигу на 1 единицу влево. Получаем график $y = \sqrt{x+1}$.
2. Сдвиг на $b=3$ вдоль оси Oy, что соответствует сдвигу на 3 единицы вверх. Получаем итоговый график $y = \sqrt{x+1}+3$.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x_0, y_0)$ базового графика переместится в точку $(x_0-1, y_0+3)$. Например:

• Начальная точка (0; 0) переместится в (0-1; 0+3) → (-1; 3).
• Точка (1; 1) переместится в (1-1; 1+3) → (0; 4).
• Точка (4; 2) переместится в (4-1; 2+3) → (3; 5).

Область определения функции: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Ответ: График функции $y = 3+\sqrt{x+1}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 2 - \sqrt{x}$;

2) $y = -1 - \sqrt{x-1}$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = -\sqrt{x}$.

Область определения этой функции: $x \ge 0$. График является симметричным отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

При $x=0$, $y = -\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
При $x=1$, $y = -\sqrt{1} = -1$. Точка (1; -1).
При $x=4$, $y = -\sqrt{4} = -2$. Точка (4; -2).
При $x=9$, $y = -\sqrt{9} = -3$. Точка (9; -3).

По этим точкам строим график функции $y = -\sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в четвертой координатной четверти.

1) $y = 2 - \sqrt{x}$

Функцию можно переписать в виде $y = -\sqrt{x} + 2$. Чтобы построить график этой функции, нужно взять график базовой функции $y = -\sqrt{x}$ и выполнить параллельный перенос (сдвиг) вдоль оси ординат (Oy) на 2 единицы вверх.

Каждая точка базового графика $(x_0; y_0)$ перейдет в точку $(x_0; y_0 + 2)$. Применим это преобразование к нашим ключевым точкам:

Точка (0; 0) переходит в точку (0; 0 + 2) = (0; 2).
Точка (1; -1) переходит в точку (1; -1 + 2) = (1; 1).
Точка (4; -2) переходит в точку (4; -2 + 2) = (4; 0).
Точка (9; -3) переходит в точку (9; -3 + 2) = (9; -1).

Соединив полученные точки плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x}$ получается путем сдвига графика $y = -\sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) $y = -1 - \sqrt{x-1}$

Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{x-1} - 1$. Для построения этого графика необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = -\sqrt{x}$:

1. Сдвинуть график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Это преобразование соответствует замене аргумента $x$ на $(x-1)$ и дает нам промежуточный график функции $y = -\sqrt{x-1}$.
2. Сдвинуть полученный график $y = -\sqrt{x-1}$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy). Это преобразование соответствует вычитанию 1 из всей функции.

Таким образом, каждая точка базового графика $(x_0; y_0)$ перейдет в точку $(x_0+1; y_0-1)$. Применим это к ключевым точкам:

Точка (0; 0) переходит в точку (0+1; 0-1) = (1; -1).
Точка (1; -1) переходит в точку (1+1; -1-1) = (2; -2).
Точка (4; -2) переходит в точку (4+1; -2-1) = (5; -3).
Точка (9; -3) переходит в точку (9+1; -3-1) = (10; -4).

Начало графика смещается в точку (1; -1). Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Ответ: График функции $y = -1 - \sqrt{x-1}$ получается путем сдвига графика $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

88. Постройте график функции $y = \frac{4}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{x} - 5;$

2) $y = \frac{4}{x+1};$

3) $y = \frac{4}{x-1} + 2;$

4) $y = \frac{2x+4}{x};$

5) $y = \frac{2x-2}{x-3}.$

Для построения графиков заданных функций сначала построим график базовой функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX). Для более точного построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2), (-4, -1). Все последующие графики получаются из этого базового графика с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов).

1) $y = \frac{4}{x} - 5$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 5 единиц вниз вдоль оси OY. При этом вертикальная асимптота не изменится ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 5 единиц вниз и станет прямой $y = -5$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 5 единиц вниз.

2) $y = \frac{4}{x+1}$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси OX. При этом горизонтальная асимптота не изменится ($y=0$), а вертикальная асимптота сместится на 1 единицу влево и станет прямой $x = -1$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 1 единицу влево.

3) $y = \frac{4}{x-1} + 2$;
График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 1 единицу вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x = 1$. Горизонтальная асимптота сместится и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

4) $y = \frac{2x+4}{x}$;
Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x}{x} + \frac{4}{x} = 2 + \frac{4}{x}$. Таким образом, получили функцию $y = \frac{4}{x} + 2$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота останется прежней ($x=0$), а горизонтальная асимптота сместится на 2 единицы вверх и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 2 единицы вверх.

5) $y = \frac{2x-2}{x-3}$;
Для построения графика преобразуем выражение, выделив целую часть дроби. Для этого в числителе выделим выражение, стоящее в знаменателе: $2x - 2 = 2x - 6 + 4 = 2(x - 3) + 4$. Теперь подставим это в исходную функцию: $y = \frac{2(x-3) + 4}{x-3} = \frac{2(x-3)}{x-3} + \frac{4}{x-3} = 2 + \frac{4}{x-3}$. Таким образом, получили функцию $y = \frac{4}{x-3} + 2$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем двух параллельных переносов: на 3 единицы вправо вдоль оси OX и на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x = 3$. Горизонтальная асимптота сместится и станет прямой $y = 2$.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ сдвинут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 10x + 20;$

2) $y = -x^2 + 3x - 4;$

3) $y = 0.6x^2 + 7.2x + 22.6;$

4) $y = -5x^2 - 20x + 6.$

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, используются следующие правила:

• Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх; если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: абсцисса $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и ордината $y_0 = y(x_0)$, которая вычисляется подстановкой $x_0$ в уравнение параболы.

1) $y = x^2 - 10x + 20$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

Ордината вершины: $y_0 = (5)^2 - 10(5) + 20 = 25 - 50 + 20 = -5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(5, -5)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(5, -5)$.

2) $y = -x^2 + 3x - 4$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ордината вершины: $y_0 = -(1,5)^2 + 3(1,5) - 4 = -2,25 + 4,5 - 4 = -1,75$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1,5; -1,75)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(1,5; -1,75)$.

3) $y = 0,6x^2 + 7,2x + 22,6$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,6$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7,2}{2 \cdot 0,6} = -\frac{7,2}{1,2} = -6$.

Ордината вершины: $y_0 = 0,6(-6)^2 + 7,2(-6) + 22,6 = 0,6 \cdot 36 - 43,2 + 22,6 = 21,6 - 43,2 + 22,6 = 1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-6, 1)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-6, 1)$.

4) $y = -5x^2 - 20x + 6$

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдём координаты вершины $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{-20}{-10} = -2$.

Ордината вершины: $y_0 = -5(-2)^2 - 20(-2) + 6 = -5 \cdot 4 + 40 + 6 = -20 + 40 + 6 = 26$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 26)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-2, 26)$.

90. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 6x + 5;$

2) $y = -x^2 + 2x + 8;$

3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x - 8;$

4) $y = 3x^2 - 6x + 3;$

5) $y = 4x + x^2;$

6) $y = 4 - x^2;$

7) $y = -0.2x^2 + 2x - 5;$

8) $y = x^2 - 2x + 3.$

Для построения графика каждой из предложенных квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ используется следующий алгоритм:

1. Определить направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
   • С осью Oy: подставить $x=0$ в уравнение функции. Точка будет $(0, c)$.
   • С осью Ox: подставить $y=0$ и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. При необходимости найти несколько дополнительных точек, используя ось симметрии параболы $x=x_0$.
5. Отметить найденные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

1) $y = x^2 + 6x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_0 = y(x_0) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(-3, -4)$.

Найдём точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 6x + 5 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$. Точки $(-5, 0)$ и $(-1, 0)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-3, -4)$ и точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(-5, 0)$, $(-1, 0)$, после чего соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 5)$ и ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(-1, 0)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 8$

График — парабола. Коэффициент $a=-1 < 0$, ветви направлены вниз.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$
Вершина находится в точке $(1, 9)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 8$. Точка $(0, 8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 8 = 0$ или $x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. Точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Отмечаем вершину $(1, 9)$ и точки пересечения с осями $(0, 8)$, $(-2, 0)$, $(4, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 9)$, ветвями вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, 8)$ и ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x - 8$

График — парабола. Коэффициент $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви направлены вверх.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1$
$y_0 = y(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) - 8 = \frac{1}{2} - 1 - 8 = -8,5$
Вершина находится в точке $(-1, -8,5)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -8$. Точка $(0, -8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{2}x^2 + x - 8 = 0$ или $x^2 + 2x - 16 = 0$.
$D = 2^2 - 4(1)(-16) = 4 + 64 = 68$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}$. Точки $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$, что примерно равно $(-5,12; 0)$ и $(3,12; 0)$.

Отмечаем вершину $(-1, -8,5)$ и точки пересечения с осями $(0, -8)$, $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -8,5)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, -8)$ и ось Ox в точках $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$.

4) $y = 3x^2 - 6x + 3$

Функцию можно упростить: $y = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$.
График — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Из вида $y=3(x-1)^2$ видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 3(0-1)^2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
С осью Ox: так как вершина $(1, 0)$ лежит на оси Ox, это и есть единственная точка пересечения (касания).

Используем симметрию: точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, будет $(2, 3)$.

Отмечаем вершину $(1, 0)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и касающаяся оси Ox в своей вершине.

5) $y = 4x + x^2$ или $y = x^2 + 4x$

График — парабола, ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$
Вершина находится в точке $(-2, -4)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ — начало координат.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 4x = 0$ или $x(x+4)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=-4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Отмечаем вершину $(-2, -4)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-4, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх, проходящая через начало координат и пересекающая ось Ox также в точке $(-4, 0)$.

6) $y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$

График — парабола, ветви направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
$y_0 = y(0) = 4 - 0^2 = 4$
Вершина находится в точке $(0, 4)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy: вершина $(0, 4)$ лежит на оси Oy.
С осью Ox (при $y=0$): $4 - x^2 = 0$ или $x^2 = 4$. Корни: $x_1=-2$, $x_2=2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Отмечаем вершину $(0, 4)$ и точки пересечения с осью Ox $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

7) $y = -0,2x^2 + 2x - 5$

График — парабола, ветви направлены вниз ($a=-0,2 < 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{2}{-0,4} = 5$
$y_0 = y(5) = -0,2(5)^2 + 2(5) - 5 = -0,2 \cdot 25 + 10 - 5 = -5 + 10 - 5 = 0$
Вершина находится в точке $(5, 0)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью Ox: вершина $(5, 0)$ лежит на оси Ox, это единственная точка пересечения (касания).

Дополнительная точка, симметричная $(0, -5)$ относительно оси $x=5$: $(10, -5)$.

Отмечаем вершину $(5, 0)$ и точки $(0, -5)$, $(10, -5)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(5, 0)$, ветвями вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и касающаяся оси Ox в своей вершине.

8) $y = x^2 - 2x + 3$

График — парабола, ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_0 = y(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет, график не пересекает ось Ox.

Дополнительная точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$: $(2, 3)$.

Отмечаем вершину $(1, 2)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и строим параболу, расположенную полностью выше оси Ox.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и не пересекающая ось Ox.

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) < 0$; $f(x) \geq 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 2x - 3$ найдем ключевые точки. Данная функция является квадратичной, её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = - \frac{b}{2a}$.
$x_v = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (x=0):
$f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (y=0):
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения — $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; -4)$, точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; -3)$. Также можно отметить симметричную точке $(0; -3)$ точку относительно оси симметрии $x=1$ — это будет точка $(2; -3)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция уходит в бесконечность, и наибольшего значения у нее не существует. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -4.
Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно -4, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от -4 включительно и до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины и возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Абсцисса вершины $x_v = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

4) множество решений неравенства $f(x) < 0$; $f(x) \geq 0$

Неравенство $f(x) < 0$ выполняется, когда график функции находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x = -1$ и $x = 3$.
Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше нее. Это происходит при значениях $x$ левее или равных -1, а также правее или равных 3.
Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 3)$; $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

92. Постройте график функции $f(x) = 6x - 2x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 6x - 2x^2$ и анализа ее свойств, сначала определим ключевые характеристики этой функции. Это квадратичная функция, график которой — парабола.

1. Определение направления ветвей параболы.Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -2x^2 + 6x$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение координат вершины параболы $(x_0, y_0)$.Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-2)} = -\frac{6}{-4} = 1.5$Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:$y_0 = f(1.5) = 6 \cdot 1.5 - 2 \cdot (1.5)^2 = 9 - 2 \cdot 2.25 = 9 - 4.5 = 4.5$Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5; 4.5)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.Пересечение с осью OY (когда $x=0$):$f(0) = 6 \cdot 0 - 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$. Пересечение с осью OX (когда $f(x)=0$):$6x - 2x^2 = 0$$2x(3 - x) = 0$$x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

На основе этих данных (вершина в $(1.5; 4.5)$, ветви вниз, пересечение с осями в точках $(0;0)$ и $(3;0)$) можно построить график. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате вершины. Поскольку ветви уходят вниз до бесконечности, наименьшего значения у функции нет.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4.5$; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции;

Область значений — это все возможные значения, которые может принимать функция. Поскольку максимальное значение функции равно $4.5$ и она убывает до минус бесконечности, область значений включает все числа от $-\infty$ до $4.5$ включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 4.5]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает на участке, где график идет вверх (слева от вершины), и убывает на участке, где график идет вниз (справа от вершины). Абсцисса вершины $x_0 = 1.5$ является точкой смены монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5; +\infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0$; $f(x) \le 0$.

Неравенство $f(x) > 0$ выполняется там, где график функции находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x=0$ и $x=3$.

Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется там, где график функции находится ниже или на оси Ox. Это происходит при значениях $x$ левее $0$ (включая $0$) и правее $3$ (включая $3$).

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; 3)$; $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.