Номер 91, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) < 0$; $f(x) \geq 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 2x - 3$ найдем ключевые точки. Данная функция является квадратичной, её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = - \frac{b}{2a}$.
$x_v = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:
$y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (x=0):
$f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0; -3)$.
С осью Ox (y=0):
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Точки пересечения — $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Построение графика.
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; -4)$, точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; -3)$. Также можно отметить симметричную точке $(0; -3)$ точку относительно оси симметрии $x=1$ — это будет точка $(2; -3)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Так как ветви параболы направлены вверх, функция уходит в бесконечность, и наибольшего значения у нее не существует. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Ордината вершины равна -4.
Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку наименьшее значение функции равно -4, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения от -4 включительно и до $+\infty$.
Ответ: $E(f) = [-4; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины и возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. Абсцисса вершины $x_v = 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

4) множество решений неравенства $f(x) < 0$; $f(x) \geq 0$

Неравенство $f(x) < 0$ выполняется, когда график функции находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью Ox, то есть между $x = -1$ и $x = 3$.
Неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше нее. Это происходит при значениях $x$ левее или равных -1, а также правее или равных 3.
Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (-1; 3)$; $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.