Номер 90, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 6x + 5;$

2) $y = -x^2 + 2x + 8;$

3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x - 8;$

4) $y = 3x^2 - 6x + 3;$

5) $y = 4x + x^2;$

6) $y = 4 - x^2;$

7) $y = -0.2x^2 + 2x - 5;$

8) $y = x^2 - 2x + 3.$

Для построения графика каждой из предложенных квадратичных функций $y = ax^2 + bx + c$ используется следующий алгоритм:

1. Определить направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
   • С осью Oy: подставить $x=0$ в уравнение функции. Точка будет $(0, c)$.
   • С осью Ox: подставить $y=0$ и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. При необходимости найти несколько дополнительных точек, используя ось симметрии параболы $x=x_0$.
5. Отметить найденные точки на координатной плоскости и соединить их плавной линией.

1) $y = x^2 + 6x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$
$y_0 = y(x_0) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Вершина параболы находится в точке $(-3, -4)$.

Найдём точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 6x + 5 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$. Точки $(-5, 0)$ и $(-1, 0)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-3, -4)$ и точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(-5, 0)$, $(-1, 0)$, после чего соединяем их плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 5)$ и ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(-1, 0)$.

2) $y = -x^2 + 2x + 8$

График — парабола. Коэффициент $a=-1 < 0$, ветви направлены вниз.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$
$y_0 = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$
Вершина находится в точке $(1, 9)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 8$. Точка $(0, 8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 2x + 8 = 0$ или $x^2 - 2x - 8 = 0$. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. Точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Отмечаем вершину $(1, 9)$ и точки пересечения с осями $(0, 8)$, $(-2, 0)$, $(4, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 9)$, ветвями вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, 8)$ и ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x - 8$

График — парабола. Коэффициент $a=\frac{1}{2} > 0$, ветви направлены вверх.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1$
$y_0 = y(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) - 8 = \frac{1}{2} - 1 - 8 = -8,5$
Вершина находится в точке $(-1, -8,5)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -8$. Точка $(0, -8)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{2}x^2 + x - 8 = 0$ или $x^2 + 2x - 16 = 0$.
$D = 2^2 - 4(1)(-16) = 4 + 64 = 68$.
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}$. Точки $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$, что примерно равно $(-5,12; 0)$ и $(3,12; 0)$.

Отмечаем вершину $(-1, -8,5)$ и точки пересечения с осями $(0, -8)$, $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -8,5)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, -8)$ и ось Ox в точках $(-1-\sqrt{17}, 0)$ и $(-1+\sqrt{17}, 0)$.

4) $y = 3x^2 - 6x + 3$

Функцию можно упростить: $y = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$.
График — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).

Из вида $y=3(x-1)^2$ видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 3(0-1)^2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
С осью Ox: так как вершина $(1, 0)$ лежит на оси Ox, это и есть единственная точка пересечения (касания).

Используем симметрию: точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$, будет $(2, 3)$.

Отмечаем вершину $(1, 0)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и касающаяся оси Ox в своей вершине.

5) $y = 4x + x^2$ или $y = x^2 + 4x$

График — парабола, ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$
$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$
Вершина находится в точке $(-2, -4)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ — начало координат.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 4x = 0$ или $x(x+4)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=-4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Отмечаем вершину $(-2, -4)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-4, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх, проходящая через начало координат и пересекающая ось Ox также в точке $(-4, 0)$.

6) $y = 4 - x^2$ или $y = -x^2 + 4$

График — парабола, ветви направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
$y_0 = y(0) = 4 - 0^2 = 4$
Вершина находится в точке $(0, 4)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy: вершина $(0, 4)$ лежит на оси Oy.
С осью Ox (при $y=0$): $4 - x^2 = 0$ или $x^2 = 4$. Корни: $x_1=-2$, $x_2=2$. Точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Отмечаем вершину $(0, 4)$ и точки пересечения с осью Ox $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

7) $y = -0,2x^2 + 2x - 5$

График — парабола, ветви направлены вниз ($a=-0,2 < 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{2}{-0,4} = 5$
$y_0 = y(5) = -0,2(5)^2 + 2(5) - 5 = -0,2 \cdot 25 + 10 - 5 = -5 + 10 - 5 = 0$
Вершина находится в точке $(5, 0)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью Ox: вершина $(5, 0)$ лежит на оси Ox, это единственная точка пересечения (касания).

Дополнительная точка, симметричная $(0, -5)$ относительно оси $x=5$: $(10, -5)$.

Отмечаем вершину $(5, 0)$ и точки $(0, -5)$, $(10, -5)$ и строим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(5, 0)$, ветвями вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и касающаяся оси Ox в своей вершине.

8) $y = x^2 - 2x + 3$

График — парабола, ветви направлены вверх ($a=1 > 0$).

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_0 = y(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Точки пересечения с осями:
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 3$. Точка $(0, 3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 2x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет, график не пересекает ось Ox.

Дополнительная точка, симметричная $(0, 3)$ относительно оси $x=1$: $(2, 3)$.

Отмечаем вершину $(1, 2)$ и точки $(0, 3)$, $(2, 3)$ и строим параболу, расположенную полностью выше оси Ox.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, 2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 3)$ и не пересекающая ось Ox.