Номер 83, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4$;

2) $y = (x - 2)^2$;

3) $y = (x + 1)^2 + 2$.

Для построения графиков заданных функций, сначала построим базовый график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Ось симметрии параболы — ось OY ($x=0$).

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

Соединив эти точки плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Все последующие графики строятся путем преобразования (сдвига) этого базового графика.

1) $y = x^2 - 4$

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на $c$ единиц. Если $c < 0$, сдвиг происходит вниз.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = x^2 - 4$, нужно график функции $y = x^2$ сдвинуть на 4 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 4 единицы вниз по оси OY.

2) $y = (x - 2)^2$

График функции вида $y = f(x - b)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OX на $b$ единиц. Если $b > 0$, сдвиг происходит вправо.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $b = 2$. Следовательно, чтобы построить график функции $y = (x - 2)^2$, нужно график функции $y = x^2$ сдвинуть на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси OX.

3) $y = (x + 1)^2 + 2$

В данном случае мы имеем комбинацию двух сдвигов: горизонтального и вертикального. Функцию можно представить в виде $y = f(x - b) + c$, где $f(x) = x^2$, $b = -1$ и $c = 2$.

1. Горизонтальный сдвиг: выражение $(x + 1)$ можно записать как $(x - (-1))$. Так как $b = -1$, график $y=x^2$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси OX.

2. Вертикальный сдвиг: прибавление 2 ($c = 2$) означает сдвиг графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = (x + 1)^2 + 2$, нужно график параболы $y = x^2$ сдвинуть на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^2 + 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 1 единицу влево по оси OX и на 2 единицы вверх по оси OY.