Номер 82, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На рисунке 4 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) - 3$;

2) $y = f(x + 2)$;

3) $y = 4 - f(x)$.

Рис. 4

a

б

Поскольку на рисунке 4 представлены два разных графика (а и б), решение будет дано для каждого из них.

Для графика, изображенного на рисунке 4а:

1) $y = f(x) - 3;$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x, y - 3)$. Например, начальная точка графика $(1, 0)$ переместится в точку $(1, -3)$, а точка $(5, -2)$ — в точку $(5, -5)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 3 единицы вниз.

2) $y = f(x + 2);$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, необходимо выполнить параллельный перенос исходного графика функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переместится в точку $(x - 2, y)$. Например, начальная точка графика $(1, 0)$ переместится в точку $(-1, 0)$, а точка $(5, -2)$ — в точку $(3, -2)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 2 единицы влево.

3) $y = 4 - f(x).$

Чтобы построить график функции $y = 4 - f(x)$, или $y = -f(x) + 4$, нужно выполнить два последовательных преобразования. Сначала необходимо отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox, в результате чего получится график функции $y = -f(x)$. Затем полученный график нужно сместить на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Например, точка $(1, 0)$ после отражения останется на месте, а после сдвига вверх переместится в точку $(1, 4)$. Точка $(5, -2)$ после отражения переместится в $(5, 2)$, а после сдвига — в $(5, 6)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сначала отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем смещается на 4 единицы вверх.

Для графика, изображенного на рисунке 4б:

1) $y = f(x) - 3;$

Чтобы построить график функции $y = f(x) - 3$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y = 0$ сместится и станет прямой $y = -3$. Вертикальная асимптота $x = 0$ останется без изменений. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(1, -2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, -4)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 3 единицы вниз. Его новой горизонтальной асимптотой будет прямая $y = -3$.

2) $y = f(x + 2);$

Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота $x = 0$ сместится и станет прямой $x = -2$. Горизонтальная асимптота $y = 0$ останется без изменений. Точка $(1, 1)$ переместится в точку $(-1, 1)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-3, -1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ смещается параллельным переносом на 2 единицы влево. Его новой вертикальной асимптотой будет прямая $x = -2$.

3) $y = 4 - f(x).$

Чтобы построить график функции $y = 4 - f(x)$, или $y = -f(x) + 4$, нужно выполнить два преобразования. Сначала отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox. Ветви гиперболы, находившиеся в I и III координатных четвертях, переместятся во II и IV четверти. Затем полученный график нужно сдвинуть на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота $x = 0$ останется без изменений, а горизонтальная асимптота $y = 0$ сместится и станет прямой $y = 4$. Точка $(1, 1)$ после отражения перейдет в $(1, -1)$, а после сдвига — в $(1, 3)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сначала отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем смещается на 4 единицы вверх. Его новой горизонтальной асимптотой будет прямая $y = 4$.