Номер 76, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{4}{x-1}$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$;

2) $f(x) = x^2 - 2x$ возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, необходимо показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(1; +\infty)$ так, что $1 < x_1 < x_2$.

Сравним значения функции в этих точках: $f(x_1) = \frac{4}{x_1-1}$ и $f(x_2) = \frac{4}{x_2-1}$.

Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = \frac{4}{x_2-1} - \frac{4}{x_1-1} = \frac{4(x_1-1) - 4(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)} = \frac{4x_1 - 4 - 4x_2 + 4}{(x_2-1)(x_1-1)} = \frac{4(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}$.

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, числитель $4(x_1-x_2)$ отрицателен.

2. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(1; +\infty)$, то $x_1 > 1$ и $x_2 > 1$. Отсюда следует, что $x_1 - 1 > 0$ и $x_2 - 1 > 0$.

3. Знаменатель $(x_1-1)(x_2-1)$ является произведением двух положительных чисел, следовательно, он положителен.

Таким образом, вся дробь $\frac{4(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}$ имеет отрицательный знак, так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, что равносильно $f(x_2) < f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $(1; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, необходимо показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[1; +\infty)$ так, что $1 \le x_1 < x_2$.

Сравним значения функции в этих точках, рассмотрев их разность $f(x_2) - f(x_1)$:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = (x_2^2 - x_1^2) - (2x_2 - 2x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1)$.

Вынесем общий множитель $(x_2 - x_1)$ за скобки:

$f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$.

Теперь оценим знак полученного произведения:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то множитель $(x_2 - x_1)$ положителен.

2. Так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > x_1$, то $x_2 > 1$. Сложив неравенства $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, получим $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, множитель $(x_1 + x_2 - 2)$ также положителен.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом: $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) > 0$.

Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что равносильно $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2$ из промежутка $[1; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.