Номер 69, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 6 - \frac{1}{4}x;$

2) $f(x) = -2x;$

3) $f(x) = 4;$

4) $f(x) = -\frac{8}{x}.$

1)

Данная функция $f(x) = 6 - \frac{1}{4}x$ является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$ и свободный член $b = 6$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$ в уравнение функции:
$y = 6 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 6$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y=0$ (или $f(x)=0$):
$0 = 6 - \frac{1}{4}x$
$\frac{1}{4}x = 6$
$x = 6 \cdot 4 = 24$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(24, 0)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 6)$ и $(24, 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0, 6)$ и $(24, 0)$.

2)

Данная функция $f(x) = -2x$ является линейной функцией вида $y = kx$. Такая функция называется прямой пропорциональностью, и ее график — это прямая линия, проходящая через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Коэффициент пропорциональности $k = -2$.

Поскольку одна точка $(0, 0)$ нам уже известна, для построения прямой достаточно найти еще одну точку. Возьмем произвольное значение $x$, отличное от нуля, например, $x = 1$.

Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -2 \cdot 1 = -2$.
Получили вторую точку с координатами $(1, -2)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$ и провести через них прямую.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат и точку $(1, -2)$.

3)

Данная функция $f(x) = 4$ является постоянной функцией (константой). Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции $y$ всегда будет равно 4.

Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, 4)$ на оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графиком функции является горизонтальная прямая $y=4$, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 4)$.

4)

Данная функция $f(x) = -\frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -8$. Графиком такой функции является гипербола.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. График не пересекает ось ординат ($Oy$). Оси координат ($Ox$ и $Oy$) являются асимптотами для графика.

Поскольку коэффициент $k = -8 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Ветвь в IV четверти (где $x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{8}{1} = -8$. Точка $(1, -8)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{8}{2} = -4$. Точка $(2, -4)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{8}{4} = -2$. Точка $(4, -2)$.
• Если $x = 8$, то $y = -\frac{8}{8} = -1$. Точка $(8, -1)$.

Ветвь во II четверти (где $x < 0$):

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка $(-1, 8)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{8}{-2} = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{8}{-4} = 2$. Точка $(-4, 2)$.
• Если $x = -8$, то $y = -\frac{8}{-8} = 1$. Точка $(-8, 1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим две ветви гиперболы, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика. График проходит, например, через точки $(2, -4)$, $(4, -2)$, $(-2, 4)$, $(-4, 2)$.