Номер 71, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x \le -3, \\ \frac{2}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3, \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x \ge 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4, \\ x + 1, & \text{если } -4 < x \le 2, \\ 4, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый из трех промежутков отдельно.

На промежутке $x \le -3$ имеем функцию $f(x) = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы. Найдем координаты нескольких точек для построения:

• При $x = -3, y = \frac{6}{-3} = -2$. Конечная точка $(-3, -2)$ принадлежит графику (закрашенная).
• При $x = -6, y = \frac{6}{-6} = -1$.

На промежутке $-3 < x < 3$ имеем функцию $f(x) = \frac{2}{3}x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой, проходящей через начало координат. Найдем координаты граничных точек отрезка:

• При $x = -3, y = \frac{2}{3}(-3) = -2$. Точка $(-3, -2)$ не входит в данный участок (является "выколотой"), но совпадает с конечной точкой предыдущего участка.
• При $x = 3, y = \frac{2}{3}(3) = 2$. Точка $(3, 2)$ не входит в данный участок (является "выколотой").

На промежутке $x \ge 3$ имеем функцию $f(x) = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы. Найдем координаты нескольких точек:

• При $x = 3, y = \frac{6}{3} = 2$. Начальная точка $(3, 2)$ принадлежит графику (закрашенная) и совпадает с "выколотой" конечной точкой предыдущего участка.
• При $x = 6, y = \frac{6}{6} = 1$.

Объединяя все три части, получаем единый график. Поскольку в точках "стыка" $x = -3$ и $x = 3$ значения функций на границах участков совпадают, график является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из трех частей: ветви гиперболы $y=6/x$ на луче $(-\infty, -3]$, отрезка прямой $y=\frac{2}{3}x$ на интервале $(-3, 3)$ и ветви гиперболы $y=6/x$ на луче $[3, +\infty)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждый из трех промежутков отдельно.

На промежутке $x \le -4$ имеем функцию $f(x) = -2x - 3$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты начальной точки луча и еще одной точки для построения:

• При $x = -4, y = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Начальная точка $(-4, 5)$ принадлежит графику (закрашенная).
• При $x = -5, y = -2(-5) - 3 = 10 - 3 = 7$.

На промежутке $-4 < x \le 2$ имеем функцию $f(x) = x + 1$. Это линейная функция, ее график — отрезок. Найдем координаты его концов:

• При $x = -4, y = -4 + 1 = -3$. Начальная точка $(-4, -3)$ не принадлежит графику ("выколотая").
• При $x = 2, y = 2 + 1 = 3$. Конечная точка $(2, 3)$ принадлежит графику (закрашенная).

На промежутке $x > 2$ имеем функцию $f(x) = 4$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч. Найдем координаты его начальной точки:

• При $x = 2, y = 4$. Начальная точка $(2, 4)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Объединяя все три части, получаем график функции. В точках $x=-4$ и $x=2$ функция имеет разрывы (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y=-2x-3$ с началом в точке $(-4, 5)$ для $x \le -4$; отрезка $y=x+1$ с "выколотым" началом в $(-4, -3)$ и закрашенным концом в $(2, 3)$ для $-4 < x \le 2$; и горизонтального луча $y=4$ с "выколотым" началом в $(2, 4)$ для $x > 2$.