Номер 67, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 4x - 13;$

2) $f(x) = \frac{7}{x+6};$

3) $f(x) = \frac{x+10}{8};$

4) $f(x) = \frac{x+4}{x-5};$

5) $f(x) = \sqrt{x-5};$

6) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}};$

7) $f(x) = \frac{9}{x^2-5};$

8) $f(x) = \frac{14}{x^2+4};$

9) $f(x) = \frac{7x+13}{x^2-7x};$

10)

$f(x) = \frac{x}{|x|-3};$

11)

$f(x) = \frac{9}{|x|+5};$

12)

$f(x) = \frac{13}{|x|+x^2};$

13)

$f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x};$

14)

$f(x) = \sqrt{2-x} - \frac{x-3}{x+5};$

15)

$f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x};$

16)

$f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}};$

17)

$f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4};$

18)

$f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}.$

1) Данная функция $f(x) = 4x - 13$ является линейной (многочленом первой степени). Область определения любого многочлена – все действительные числа, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

2) Данная функция $f(x) = \frac{7}{x+6}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции – все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 6 = 0$
$x = -6$
Следовательно, $x$ не может быть равен -6.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

3) Данная функция $f(x) = \frac{x+10}{8}$ является линейной, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{8}x + \frac{10}{8}$. Знаменатель является константой (8) и не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Данная функция $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x - 5 \neq 0$
$x \neq 5$

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

5) Данная функция $f(x) = \sqrt{x-5}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$x - 5 \geq 0$
$x \geq 5$

Ответ: $[5; +\infty)$.

6) В данной функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$ квадратный корень находится в знаменателе. Это означает, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя).
$4 - x > 0$
$-x > -4$
$x < 4$

Ответ: $(-\infty; 4)$.

7) Данная функция $f(x) = \frac{9}{x^2-5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5 \neq 0$
$x^2 \neq 5$
$x \neq \sqrt{5}$ и $x \neq -\sqrt{5}$

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

8) Данная функция $f(x) = \frac{14}{x^2+4}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 + 4 \neq 0$
$x^2 \neq -4$
Квадрат любого действительного числа $x$ неотрицателен ($x^2 \geq 0$), поэтому $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4. Знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

9) Данная функция $f(x) = \frac{7x+13}{x^2-7x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 7x \neq 0$
$x(x - 7) \neq 0$
Это условие выполняется, когда ни один из множителей не равен нулю:
$x \neq 0$ и $x - 7 \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq 7$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

10) Данная функция $f(x) = \frac{x}{|x|-3}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| - 3 \neq 0$
$|x| \neq 3$
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

11) Данная функция $f(x) = \frac{9}{|x|+5}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| + 5 \neq 0$
$|x| \neq -5$
Модуль любого действительного числа неотрицателен ($|x| \geq 0$), поэтому $|x| + 5$ всегда будет больше или равно 5. Знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

12) Данная функция $f(x) = \frac{13}{|x|+x^2}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x| + x^2 \neq 0$
Так как $|x| \geq 0$ и $x^2 \geq 0$, их сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно.
$|x| = 0 \implies x = 0$
$x^2 = 0 \implies x = 0$
Таким образом, знаменатель равен нулю только при $x = 0$. Следовательно, $x \neq 0$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

13) Функция $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения – это пересечение областей определения каждого слагаемого. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} x+5 \geq 0 \\ 3-x \geq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \geq -5 \\ x \leq 3 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-5 \leq x \leq 3$.

Ответ: $[-5; 3]$.

14) Функция $f(x) = \sqrt{2-x} - \frac{x-3}{x+5}$ является разностью радикала и дроби. Область определения – это пересечение областей определения уменьшаемого и вычитаемого.
1. Для $\sqrt{2-x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2 - x \geq 0 \implies x \leq 2$.
2. Для дроби $\frac{x-3}{x+5}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$.
Объединяем условия: $x \leq 2$ и $x \neq -5$.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; 2]$.

15) Функция $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$ представляет собой сумму двух квадратных корней. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 2-x \geq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 2 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = 2$.

Ответ: $\{2\}$.

16) Функция $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$ является суммой двух выражений с ограничениями. Область определения – это пересечение их областей определения.
1. Для $\sqrt{x-9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 9 \geq 0 \implies x \geq 9$.
2. Для $\frac{6}{\sqrt{8-x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $8 - x > 0 \implies x < 8$.
Необходимо найти числа, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \geq 9$ и $x < 8$. Таких чисел не существует. Пересечение множеств $[9; +\infty)$ и $(-\infty; 8)$ является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$.

17) Функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$ является суммой радикала и дроби. Область определения – пересечение их областей определения.
1. Для $\sqrt{x+2}$: $x+2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
2. Для дроби $\frac{x-7}{x^2-4}$: знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Объединяем условия: $x \geq -2$, $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Это равносильно системе: $x > -2$ и $x \neq 2$.

Ответ: $(-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

18) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}$ является суммой двух выражений. Область определения – пересечение их областей определения.
1. Для первого слагаемого $\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}}$:
Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x - 6 \geq 0 \implies x \geq 6$.
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Пересечение этих условий дает $x \geq 6$.
2. Для второго слагаемого $\frac{5x-4}{x^2-8x+7}$:
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Теперь найдем пересечение всех условий: $x \geq 6$, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Условие $x \neq 1$ уже выполняется при $x \geq 6$. Остается исключить $x=7$ из промежутка $[6; +\infty)$.

Ответ: $[6; 7) \cup (7; +\infty)$.