Номер 72, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$;

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Найдем область определения функции. Так как функция является дробно-рациональной, знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$
Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$f(x) = \frac{x^2 - 2^2}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.
При $x \neq -2$ можно сократить дробь на $(x+2)$:
$f(x) = x - 2$.

Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна -2. Найдем ординату этой точки:
$y(-2) = -2 - 2 = -4$.
Следовательно, точка с координатами $(-2; -4)$ не принадлежит графику функции.
Для построения прямой $y = x - 2$ найдем координаты двух точек:
При $x = 0, y = -2$. Точка $(0; -2)$.
При $x = 2, y = 0$. Точка $(2; 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$, с выколотой точкой $(-2; -4)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции — прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2; -4)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$3 - x \neq 0$
$x \neq 3$
Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Числитель является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
$f(x) = \frac{(x - 3)^2}{3 - x} = \frac{(x - 3)^2}{-(x - 3)}$.
При $x \neq 3$ сократим дробь на $(x-3)$:
$f(x) = \frac{x - 3}{-1} = -(x - 3) = -x + 3$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой при $x=3$. Найдем ординату этой точки:
$y(3) = -3 + 3 = 0$.
Выколотая точка имеет координаты $(3; 0)$.
Для построения прямой $y = -x + 3$ найдем координаты двух точек:
При $x = 0, y = 3$. Точка $(0; 3)$.
При $x = 1, y = -1 + 3 = 2$. Точка $(1; 2)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(1; 2)$, с выколотой точкой $(3; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой $(3; 0)$.

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5x \neq 0$
$x(x - 5) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 5$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)}$.
При $x \neq 5$ (и $x \neq 0$) сократим дробь на $(x-5)$:
$f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой, так как исходная функция не определена при $x=5$. Найдем ординату этой точки:
$y(5) = \frac{4}{5} = 0.8$.
Выколотая точка имеет координаты $(5; 0.8)$.
Гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.
График функции — это гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 1 \neq 0$
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Так как числитель и знаменатель равны, при $x \neq 1$ и $x \neq -1$ их частное равно 1.
$f(x) = 1$.

Графиком функции является прямая $y = 1$ с двумя выколотыми точками, так как исходная функция не определена при $x = -1$ и $x = 1$.
Ордината обеих точек равна 1.
Выколотые точки имеют координаты $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.
График функции — это горизонтальная прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.